Question

Один из 3-х стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го стрелка 0,3; для 2-го 0,5: для 3-го 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. (Формула Байеса. Формула Бернулли)

Answer 1

1) вероятность вызова любого из трёх стрелков:
р1=р2=р3=1/3
2)   вероятность промаха первым стрелком при одном выстреле:
q=1-0,3=0,7; 
           вероятность двух промахов 1-вым  q1=0,7*0,7=0,49
           вероятность двух промахов 2-рым  q2=0,5*0,5=0,25
          вероятность двух промахов 3-им q3=0,2*0,2=0,04
3)   вероятность того, что будет вызван первый и произведёт два не результативных выстрела:
Р=0,49*(1/3) /(0,49*1/3 +0,25*1/3+0,04*1/3)=0,49/(0,49+0,25+0,04)=
=0,49/0,78≈0,63                   ответ  0,63

Answer 2

Для решения этой задачи с использованием формулы Байеса и формулы Бернулли, мы можем воспользоваться следующими обозначениями:

• A - событие, что выстрелы произведены первым стрелком.
• B - событие, что мишень не поражена.
• P(A) - вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
• P(B|A) - вероятность того, что мишень не поражена при условии, что выстрелы произведены первым стрелком.
• P(B|¬A) - вероятность того, что мишень не поражена при условии, что выстрелы произведены не первым стрелком.

Теперь мы можем использовать формулу Байеса:

$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(¬A) \cdot P(B|¬A)}$

Давайте вычислим каждую из этих вероятностей:

P(A) - вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. В данной задаче у нас есть 3 стрелка, и вероятность выбора каждого из них равна 1/3, так как выбор стрелка равновероятен:

$P(A) = \frac{1}{3}$

P(B|A) - вероятность того, что мишень не поражена при условии, что выстрелы произведены первым стрелком. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.3, таким образом вероятность того, что он не попадет (мишень не поражена) при одном выстреле равна 1 - 0.3 = 0.7. Два независимых выстрела будут представлять собой два испытания Бернулли, и вероятность того, что оба выстрела не попадут, будет равна квадрату вероятности не попадания:

$P(B|A) = (0.7)^2 = 0.49$

P(¬A) - вероятность того, что выстрелы произведены не первым стрелком. Так как у нас 3 стрелка с равной вероятностью выбора каждого, то вероятность того, что выстрелы произведены не первым стрелком равна 2/3:

$P(¬A) = \frac{2}{3}$

P(B|¬A) - вероятность того, что мишень не поражена при условии, что выстрелы произведены не первым стрелком. Вероятность попадания второго стрелка равна 0.5, а вероятность попадания третьего стрелка равна 0.8. Так как стрелки не зависят друг от друга, то вероятность того, что ни один из них не попадет (мишень не поражена) при одном выстреле равна произведению вероятностей:

$P(B|¬A) = (0.5) \cdot (0.8) = 0.4$

Теперь мы можем подставить все значения в формулу Байеса:

$P(A|B) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0.49}{\frac{1}{3} \cdot 0.49 + \frac{2}{3} \cdot 0.4} = \frac{0.49}{0.49 + 0.8} \approx \frac{0.49}{1.29} \approx 0.379$

Таким образом, вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком, при условии, что мишень не поражена, составляет около 0.379 или примерно 37.9%.