Question

Помогите решить это логарифмическое неравенство: ㏒11(8х²+7)-㏒11(х²+х+1)≥㏒11(х/(x+5)+7), даю 30 баллов

Answer 1

$\displaystyle log_{11}(8x^2+7)-log_{11}(x^2+x+1) \geq log_{11}( \frac{x}{x+5}+7)\\\\ODZ: \left \{ {{8x^2+7\ \textgreater \ 0; x^2+x+1\ \textgreater \ 0} \atop { \frac{8x+35}{x+5}\ \textgreater \ 0}} \right.\\\\ \left \{ {{x\in R} \atop { \frac{8x+35}{x+5}\ \textgreater \ 0}} \right.$

___+___ -5___-____-35/8___+____

ОДЗ: (-oo;-5)(-35/8;+oo)

решение:

$\displaystyle log_{11} \frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \geq log_{11}( \frac{8x+35}{x+5})\\\\11\ \textgreater \ 1\\\\ \frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \geq \frac{8x+35}{x+5}\\\\ \frac{(8x^2+7)(x+5)-(8x+35)(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x+5)} \geq 0\\\\ \frac{-3x^2-36x}{(x+5)(x^2+x+1)} \geq 0\\\\ \frac{-3x(x+12)}{(x^2+x+1)(x+5)} \geq 0$

____+__-12 _-__-5__+___0___-_____

решением неравенства (-oo;-12] (-5;0]

с учетом ОДЗ

Ответ: (-oo;-12] (-35/8;0]

Answer 2

Конечно, давайте решим это логарифмическое неравенство.

Для удобства, обозначим $y = x^2 + x + 1$. Тогда логарифмическое неравенство примет вид:

$\log_{11}(8x^2 + 7) - \log_{11}y \geq \log_{11}\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)$

Используем свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{11}\left(\frac{8x^2 + 7}{y}\right) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)$

Теперь избавимся от логарифмов, применяя обратную функцию к $\log_{11}$, которая является возведением в степень 11:

$\frac{8x^2 + 7}{y} \geq \frac{x}{x+5} + 7$

Умножим обе стороны на $y$ и упростим:

$8x^2 + 7 \geq y \left(\frac{x}{x+5} + 7\right)$

Подставим обратно значение $y = x^2 + x + 1$:

$8x^2 + 7 \geq (x^2 + x + 1)\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$8x^2 + 7 \geq \frac{x^4 + 8x^3 + 22x^2 + 24x + 7}{x + 5}$

Умножим обе стороны на $x + 5$ для избавления от знаменателя:

$(8x^2 + 7)(x + 5) \geq x^4 + 8x^3 + 22x^2 + 24x + 7$

Раскроем скобки, упорядочим и упростим:

$8x^3 + 48x^2 + 7x + 35 \geq x^4 + 8x^3 + 22x^2 + 24x + 7$

Теперь перенесем все члены в одну сторону и упростим:

$x^4 - 26x^2 - 17x + 28 \leq 0$

Это квадратное неравенство может быть решено графически или с использованием метода интервалов. Полученный график функции $y(x) = x^4 - 26x^2 - 17x + 28$ позволит найти интервалы, на которых $y(x) \leq 0$.

Таким образом, решение данного логарифмического неравенства задается интервалами значений $x$, на которых $x^4 - 26x^2 - 17x + 28 \leq 0$.