Question

Исследовать функцию у=2x^3-3x^2-3 с помощью производной: 1.Найти критические точки. 2.Определить интервалы возрастания и убывания функции . 3.Определить точи максимума и минимума функции. 4.Вычислить значение функции в точках экстремума .

Answer 1

Y`(x)=6x^2-6x
y`(x)=0
6x^2-6x=0
x(6x-6)=0
x1=0
6(x2)-6=0
6(x2)=6
x2=1
Функция возрастает x∈(-∞;0) 
функция убывает x∈(0;1)
Функция возрастает x∈(1;+∞)
Ymin=-∞ при x=-∞
Ymax+∞ при x=+∞
Y(0)=-3
Y(1)=-4

Answer 2

Давайте решим задачу шаг за шагом:

1. Найдем производную функции у = 2x^3 - 3x^2 - 3:

   у' = d/dx(2x^3) - d/dx(3x^2) - d/dx(3)

   у' = 6x^2 - 6x

2. Найдем критические точки, которые являются решениями у' = 0:

   6x^2 - 6x = 0

   6x(x - 1) = 0

   Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 1.

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции, используя знак производной:

   • Рассмотрим интервал x < 0: Выберем любое значение x < 0, например, x = -1: у'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 - (-6) = 12 > 0 Значит, на интервале x < 0 функция у возрастает.

   • Рассмотрим интервал 0 < x < 1: Выберем значение x = 0.5: у'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 Значит, на интервале 0 < x < 1 функция у убывает.

   • Рассмотрим интервал x > 1: Выберем значение x = 2: у'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0 Значит, на интервале x > 1 функция у возрастает.

4. Чтобы найти точки максимума и минимума функции, нужно проанализировать знак второй производной (производной производной), называемой также производной второго порядка.

   у'' = d^2/dx^2(2x^3 - 3x^2 - 3)

   у'' = d/dx(6x^2 - 6x)

   у'' = 12x - 6

Теперь определим, где у'' положительна (точки минимума) и где отрицательна (точки максимума):

• Учитывая, что у'' = 12x - 6, мы видим, что у'' > 0, когда 12x - 6 > 0. Решая это уравнение, получаем:

  12x - 6 > 0

  12x > 6

  x > 0.5

• Учитывая, что у'' = 12x - 6, мы видим, что у'' < 0, когда 12x - 6 < 0. Решая это уравнение, получаем:

  12x - 6 < 0

  12x < 6

  x < 0.5

Таким образом, у нас есть точка минимума при x > 0.5 и точка максимума при x < 0.5.

Для вычисления значений функции в точках экстремума (минимуме и максимуме) подставьте найденные значения x в исходную функцию:

• Для минимума (x > 0.5):

  у(0.5) = 2(0.5)^3 - 3(0.5)^2 - 3 = 0.125 - 0.75 - 3 = -3.625

• Для максимума (x < 0.5):

  у(-0.5) = 2(-0.5)^3 - 3(-0.5)^2 - 3 = -0.125 - 0.75 - 3 = -3.875

Таким образом, значение функции в точке минимума равно -3.625, а в точке максимума равно -3.875.