Question

Решите уравнение sin² x-2cosx=1

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения sin²(x) - 2cos(x) = 1 сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что sin²(x) + cos²(x) = 1. Также мы можем выразить cos(x) через sin(x), используя соотношение cos(x) = √(1 - sin²(x)).

Теперь давайте заменим cos(x) в исходном уравнении:

sin²(x) - 2√(1 - sin²(x)) = 1

Теперь давайте перегруппируем термины:

sin²(x) - 1 = 2√(1 - sin²(x))

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(sin²(x) - 1)² = (2√(1 - sin²(x)))²

(sin⁴(x) - 2sin²(x) + 1) = 4(1 - sin²(x))

Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены:

sin⁴(x) - 2sin²(x) + 1 = 4 - 4sin²(x)

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

sin⁴(x) - 2sin²(x) + 1 - 4 + 4sin²(x) = 0

sin⁴(x) + 2sin²(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin²(x). Давайте проведем замену, обозначив sin²(x) как t:

t² + 2t - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(t + 3)(t - 1) = 0

Из этого уравнения мы видим два возможных значения t:

1. t + 3 = 0, что дает t = -3.
2. t - 1 = 0, что дает t = 1.

Теперь вернемся к исходной переменной sin²(x):

1. Если t = -3, то sin²(x) = -3, что невозможно, так как sin²(x) всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Это решение не подходит.

2. Если t = 1, то sin²(x) = 1. Это означает, что sin(x) = ±1.

Теперь найдем значения x:

1. Если sin(x) = 1, то x = π/2 + 2πn, где n - целое число.
2. Если sin(x) = -1, то x = -π/2 + 2πn, где n - целое число.

Итак, уравнение sin²(x) - 2cos(x) = 1 имеет бесконечное множество решений:

x = π/2 + 2πn или x = -π/2 + 2πn, где n - целое число.