Question

Знайти довжини осей, фокуси еліпса 9x^2+25y^2=4

Answer 1

Каноническое уравнение эллипса -- x²/a² + y²/b² = 1,

где а -- большая полуось эллипса

b -- меньшая полуось эллипса.

Приведем наш эллипс к каноническому виду, поделив левую и правую части на 4.

9x²/4 + 25y²/4 = 1

=> a² = 4/9

a = 2/3 -- большая полуось

2a = 4/3 -- большая ось

=> b²=4/25

b = 2/5 -- меньшая полуось

2b = 4/5 -- меньшая ось

Фокусы имеют координаты F₁ (c,0) и F₂ (-c,0) , где c = √a²-b²

c = √4/9 - 4/25 = √100/225 - 36/225 = √64/225 = 8/15

F₁ (8/15, 0)

F₂ (-8/15, 0)

Ответ: 4/3, 4/5

F₁ (8/15, 0), F₂ (-8/15, 0)

Answer 2

Для знаходження довжин осей та фокусів еліпса, спершу давайте перетворимо рівняння еліпса на стандартну форму:

9x^2 + 25y^2 = 4

Спрощуємо дільник 4 з обох боків:

x^2 / (4/9) + y^2 / (4/25) = 1

Тепер ми маємо рівняння еліпса в стандартній формі:

x^2 / (a^2) + y^2 / (b^2) = 1

Де a і b - довжини осей еліпса. У нашому випадку, a^2 = 4/9 та b^2 = 4/25.

Для знаходження a та b, треба взяти квадратний корінь від цих значень:

a = √(4/9) = 2/3 b = √(4/25) = 2/5

Тепер ми знаємо довжини осей еліпса: a = 2/3 та b = 2/5.

Для знаходження фокусів еліпса, можна використовувати наступну формулу:

c = √(a^2 - b^2)

де c - відстань від центра еліпса до фокусів. Підставимо значення a і b:

c = √((2/3)^2 - (2/5)^2) = √(4/9 - 4/25) = √(100/225 - 36/225) = √(64/225) = 8/15

Отже, відстань від центра еліпса до фокусів дорівнює 8/15.

Фокуси розташовані вздовж головної вісі еліпса, віддалені на відстані 2c від центра еліпса. Таким чином, координати фокусів будуть:

F1: (0, 8/15) F2: (0, -8/15)

Це координати фокусів еліпса 9x^2 + 25y^2 = 4.