Question

2sin^2 x=3sinxcosx+5cos^2 x к числу пи. Найти отношения наименьшего по модулю корня уравнения

Answer 1

Вот решение..В конце при выборе корней надо вспомнить график функции tg(x)

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение $2\sin^2 x = 3\sin x \cos x + 5\cos^2 x$ и попробуем решить его.

Перепишем уравнение в виде:

$2\sin^2 x - 3\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$

Теперь давайте воспользуемся тригонометрической подстановкой. Пусть t = \tan\left(\frac{x}{2}). Тогда мы можем выразить $\sin x$ и $\cos x$ следующим образом:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 - 3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = 0$

Упростим это уравнение. После упрощения у нас должно получиться уравнение относительно $t$. Решим это уравнение и найдем корни.

После нахождения корней, отношение наименьшего по модулю корня к числу $\pi$ даст искомый результат:

$\frac{\text{наименьший корень}}{\pi}$

Но важно помнить, что данное уравнение может иметь несколько корней, и необходимо проверить их все.