Question

Найти производную выражения: y=(-4x^2+4x+2)/(x^2-3x+2)^2

Answer 1

8x^3-12x^2-12x+20/(x^2-3x+2)^3

Answer 2

Для нахождения производной выражения y=(-4x^2+4x+2)/(x^2-3x+2)^2, мы будем использовать правила дифференцирования функций.

Сначала разложим дробь в выражении на две составляющие, чтобы упростить задачу. Мы можем представить данное выражение следующим образом:

y = (-4x^2 + 4x + 2) / (x^2 - 3x + 2)^2 = (-4x^2 + 4x + 2) / [(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)]

Теперь мы можем использовать правило дифференцирования для частного функций:

dy/dx = [(-4x^2 + 4x + 2) * d/dx(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2) * d/dx(-4x^2 + 4x + 2)] / [(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)]^2

Теперь вычислим производные от обеих составляющих:

1. d/dx(x^2 - 3x + 2) = 2x - 3
2. d/dx(-4x^2 + 4x + 2) = -8x + 4

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для производной:

dy/dx = [(-4x^2 + 4x + 2)(2x - 3) - (x^2 - 3x + 2)(-8x + 4)] / [(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)]^2

Теперь упростим числитель:

dy/dx = [-8x^3 + 12x^2 + 2x^2 - 12x - 8x + 12 - 4x^3 + 12x^2 - 8x^2 + 12x] / [(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)]^2

dy/dx = [-12x^3 + 6x^2 + 12] / [(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)]^2

Таким образом, производная данного выражения равна:

dy/dx = (-12x^3 + 6x^2 + 12) / [(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)]^2