Question

Даны 4 точки А1 (3, -1,2) А2 (-1,0,1) А3(1,7,3) А4 (8,5,8,) Составьте уравнение плоскости А1 А2 А3

Answer 1

Ответ: 3x + 2y - 10z = -13

Пошаговое объяснение:

Уравнение плоскости задается уравнением Ax +By + Cz = D

Подставим координаты всех 3 точек в это уравнение и получим систему:

3A - B + 2C = D

-A + C = D

A + 7B + 3C = D

Из второго C = A + D, подставим в 1 и 3

3A - B + 2A +2D = D

A + 7B + 3A + 3D = D

5A - B + D = 0

4A + 7B + 2D = 0

-6A + 9B = 0 ⇒ B =2/3A

5A - B + D = 0 ⇒ D = -13/3A

C = A + D ⇒ C = -10/3A

Подставим все коэффициенты в уравнение плоскости:

Ax +By + Cz = D

Ax + 2/3Ay - 10/3Az = -13/3A

Сократим на A и умножим на 3:

3x + 2y - 10z = -13

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через три точки $A_1 (x_1, y_1, z_1)$, $A_2 (x_2, y_2, z_2)$ и $A_3 (x_3, y_3, z_3)$, можно воспользоваться следующим методом.

Уравнение плоскости имеет вид: $ax + by + cz = d,$ где $(a, b, c)$ - нормальный вектор к плоскости.

Нормальный вектор можно найти, вычислив векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Пусть $\vec{v_1} = A_2 - A_1$ и $\vec{v_2} = A_3 - A_1$. Тогда нормальный вектор: $\vec{N} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}.$

Подставим значения векторов: $\vec{v_1} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle,$ $\vec{v_2} = \langle x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1 \rangle.$

Теперь находим векторное произведение: $\vec{N} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}.$

После этого полученный вектор будет являться нормальным вектором к плоскости. Теперь можно записать уравнение плоскости: $ax + by + cz = d,$ где $a, b, c$ - координаты нормального вектора.

Проиллюстрируем на примере:

$\vec{v_1} = \langle -1 - 3, 0 - (-1), 1 - 2 \rangle = \langle -4, 1, -1 \rangle,$

$\vec{v_2} = \langle 1 - 3, 7 - (-1), 3 - 2 \rangle = \langle -2, 8, 1 \rangle.$

Теперь найдем векторное произведение: $\vec{N} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \langle i, j, k \rangle = \langle -7, 7, 12 \rangle.$