Question

Найти полный дифференциал dz, если z= arctg(x+y)/(x-y)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала dz функции z = arctg((x + y)/(x - y)), нам нужно вычислить его по отношению к переменным x и y. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Сначала определим выражение для z:

z = arctg((x + y)/(x - y))

Теперь продифференцируем z по x:

dz/dx = d(arctg((x + y)/(x - y)))/dx

Для вычисления этой производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции). Пусть u = (x + y)/(x - y), тогда:

dz/dx = d(arctg(u))/dx = d(arctg(u))/du * du/dx

Теперь вычислим эти производные:

1. d(arctg(u))/du: Функция arctg(u) имеет производную 1/(1 + u^2) по u. Так что: d(arctg(u))/du = 1/(1 + u^2)

2. du/dx: Теперь продифференцируем u = (x + y)/(x - y) по x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного: du/dx = [(x - y)(1) - (x + y)(1)] / (x - y)^2 du/dx = (-2y) / (x - y)^2

Теперь мы можем найти dz/dx, подставив эти значения: dz/dx = (1/(1 + u^2)) * (-2y) / (x - y)^2 dz/dx = (-2y) / ((1 + u^2)(x - y)^2)

Теперь проделаем аналогичные шаги для вычисления dz/dy:

dz/dy = d(arctg(u))/du * du/dy

1. d(arctg(u))/du уже вычислено и равно 1/(1 + u^2).

2. du/dy: Теперь продифференцируем u = (x + y)/(x - y) по y: du/dy = [(x - y)(1) - (x + y)(-1)] / (x - y)^2 du/dy = (2x) / (x - y)^2

Подставляем это значение в формулу для dz/dy:

dz/dy = (1/(1 + u^2)) * (2x) / (x - y)^2 dz/dy = (2x) / ((1 + u^2)(x - y)^2)

Теперь у нас есть полные дифференциалы dz/dx и dz/dy:

dz/dx = (-2y) / ((1 + u^2)(x - y)^2) dz/dy = (2x) / ((1 + u^2)(x - y)^2)

Это и есть полные дифференциалы функции z относительно переменных x и y.