Question

Найдите количество корней уравнения: (sin x + 1) (tg x + 1/3) = 0, принадлежащих к промежутку (-π/2; 2π) Пожалуйста, помогите.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) sinx+1=0

sinx=-1

x=-п/2+2пn, n∈Z

n=0 ;х=-п/2 ∉ (-π/2; 2π)

n=1 ;х=-п/2+2п=1 1/2п ∈ (-π/2; 2π)

n=2 ;х=-п/2+4п ∉ (-π/2; 2π)

2) tgx+1/3=0

tgx=-1/3

x=arctg(-1/3)+пк=-arctg(1/3)+пк, к∈Z

≈0,7≈0,2п

n=-1; x≈-0.2п-п  ∉ (-π/2; 2π)

n=0; x≈-0.2п    ∈ (-π/2; 2π)

n=1; x≈-0.2п+п≈0,8п  ∈ (-π/2; 2π)

n=2; x≈-0.2п+2п≈1,8п  ∈ (-π/2; 2π)

таким образом

х₁=1 1/2п ;

x₂=arctg(1/3)

x₃=arctg(1/3)+п

x₄=arctg(1/3)+2п

Answer 2

Чтобы найти количество корней уравнения $(\sin x + 1)(\tan x + \frac{1}{3}) = 0$ на интервале $(-π/2, 2π)$, мы можем рассмотреть корни каждого из множителей отдельно и затем учесть их вместе.

1. Рассмотрим множитель $\sin x + 1$: $\sin x + 1 = 0$ $\sin x = -1$

   Синус обычно равен -1 только в точке $-π/2$, поэтому корень этого множителя на интервале $(-π/2, 2π)$ будет только один, а именно $x = -π/2$.

2. Рассмотрим множитель $\tan x + \frac{1}{3}$: $\tan x + \frac{1}{3} = 0$ $\tan x = -\frac{1}{3}$

   Тангенс может иметь значения -1/3 на нескольких интервалах. Для нашего интервала $(-π/2, 2π)$ учтем следующие интервалы, на которых $\tan x = -\frac{1}{3}$:

   • В первом периоде $(-π/2, π/2)$ значение $\tan x$ отрицательное, и есть один корень.
   • Во втором периоде $(π/2, 3π/2)$ значение $\tan x$ также отрицательное, и есть один корень.
   • В третьем периоде $(3π/2, 5π/2)$ значение $\tan x$ снова отрицательное, и есть один корень.

Таким образом, у нас есть еще 3 корня для множителя $\tan x + \frac{1}{3}$ на интервале $(-π/2, 2π)$.

Теперь учтем оба множителя вместе. Так как у нас есть один корень от первого множителя и 3 корня от второго, то всего на интервале $(-π/2, 2π)$ будет 4 корня уравнения $(\sin x + 1)(\tan x + \frac{1}{3}) = 0$.