Question

Исследовать функции экстремула y=x^3-3x^2-9x​

Answer 1

Найдём производную: y’= 3x^2-6x-9

Решим это уравнение : D=36+108=12

X1=6+12/6=3

X2=6-12/6=-1

Чертим параболу , ветви вверх, за корнями плюсы .

Возрастает от (-бесконечности; -1), убывает от (-1;3), возрастает (3;бесконечности)

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y=x^3-3x^2-9x.
2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Исследуйте знаки производной в окрестности каждой критической точки, чтобы определить, является ли точка локальным максимумом, минимумом или седловой точкой.

Шаг 1: Найдем производную функции y=x^3-3x^2-9x:

y' = 3x^2 - 6x - 9

Шаг 2: Найдем критические точки, где y' = 0:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Давайте разрешим это уравнение:

3(x^2 - 2x - 3) = 0

3(x - 3)(x + 1) = 0

Из этого уравнения получаем две критические точки: x1 = 3 и x2 = -1.

Шаг 3: Исследуем знаки производной в окрестности критических точек.

a) Для x < -1 (в интервале (-∞, -1)): Подставим x = -2 (значение между -1 и -∞) в производную y': y'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 - 9 = 6 (положительное значение). Значит, функция возрастает в этом интервале.

b) Для -1 < x < 3 (в интервале (-1, 3)): Подставим x = 0 (значение между -1 и 3) в производную y': y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 (отрицательное значение). Значит, функция убывает в этом интервале.

c) Для x > 3 (в интервале (3, ∞)): Подставим x = 4 (значение больше 3) в производную y': y'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 39 - 9 = 30 (положительное значение). Значит, функция возрастает в этом интервале.

Теперь мы можем сделать выводы о поведении функции вокруг критических точек:

• В точке x1 = 3 производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому это является локальным максимумом.
• В точке x2 = -1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому это также является локальным максимумом.

Итак, функция y=x^3-3x^2-9x имеет два локальных максимума в точках x1 = 3 и x2 = -1. Значения функции в этих точках будут соответственно:

y(x1) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27 y(x2) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5

Таким образом, координаты этих экстремумов: (3, -27) и (-1, 5).