Question

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное единице. ответ: ​

Answer 1

V = $\pi \int\limits^a_b {f^{2}(x) } \, dx$

V = $\pi \int\limits^1_0 {4x} \, dx = 4\pi \int\limits^1_0 {x} \, dx = 4\pi \frac{1}{2} 1^{2} = 2\pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное единице, мы можем воспользоваться методом цилиндров.

Парабола может быть представлена уравнением в декартовых координатах:

y = x^2

Известно, что плоскость перпендикулярна к оси параболоида и находится на расстоянии 1 единицы от его вершины. Поэтому уравнение этой плоскости будет:

z = 1

Теперь давайте представим цилиндр, который ограничивает наше тело. Радиус этого цилиндра будет равен x (расстоянию от оси параболоида до точки на параболе), а высота цилиндра будет равна разности между z на параболе и z на плоскости:

h = (x^2 - 1)

Теперь мы можем вычислить объем элементарного цилиндра dV и затем проинтегрировать его по всей поверхности параболоида.

dV = π * x^2 * dh

Теперь подставим значение dh:

dV = π * x^2 * (x^2 - 1) dx

Интегрируем это выражение от 0 до какого-либо значения x, где параболоид пересекает плоскость (т.е., от 0 до корня из 2, так как x^2 - 1 = 0 при x = √2):

V = ∫[0, √2] π * x^4 - π * x^2 dx

Теперь произведем вычисления:

V = π * (x^5 / 5 - x^3 / 3) |[0, √2]

V = π * ((√2)^5 / 5 - (√2)^3 / 3 - (0^5 / 5 - 0^3 / 3))

V = π * (32/15 - 8/3)

V = π * (32/15 - 40/15)

V = π * (-8/15)

Итак, объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы вокруг своей оси и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное единице, равен:

V = -8π/15

Ответ: -8π/15.