Question

Докажите что ABCD -ромб, если A(5;5;5), B(1;6;-5), C(-7;-1;-7), D(-3;-2;3). Помогите срочно!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

AB²=(5-1)²+(5-6)²+(5+5)²=4²+1+10²=117

CB²=(-7-1)²+(-1-6)²+(-7+5)²=8²+7²+2²=117

AD=(5+3)²+(5+2)²+(5-3)²=8²+7²+2²=117

СD=(-7+3)²+(-1+2)²+(-7-3)²=4²+1²+10²=117

1) все стороны равны

2) вершины лежат в одной плоскости (условие принадлежности четырех точек одной плоскости см. приложение)

⇒ АВСD - ромб

Answer 2

Для того чтобы доказать, что ABCD - ромб, нужно убедиться в выполнении двух условий:

1. Все стороны ромба равны между собой.
2. Диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в его центре.

Для начала найдем координаты векторов, соединяющих вершины ромба:

1. Вектор AB: AB = B - A = (1 - 5, 6 - 5, -5 - 5) = (-4, 1, -10).

2. Вектор BC: BC = C - B = (-7 - 1, -1 - 6, -7 - (-5)) = (-8, -7, -2).

3. Вектор CD: CD = D - C = (-3 - (-7), -2 - (-1), 3 - (-7)) = (4, -1, 10).

4. Вектор DA: DA = A - D = (5 - (-3), 5 - (-2), 5 - 3) = (8, 7, 2).

Теперь проверим равенство длин этих векторов:

1. |AB| = √((-4)^2 + 1^2 + (-10)^2) = √(16 + 1 + 100) = √117.

2. |BC| = √((-8)^2 + (-7)^2 + (-2)^2) = √(64 + 49 + 4) = √117.

3. |CD| = √(4^2 + (-1)^2 + 10^2) = √(16 + 1 + 100) = √117.

4. |DA| = √(8^2 + 7^2 + 2^2) = √(64 + 49 + 4) = √117.

Все стороны ромба равны между собой, так как их длины равны √117.

Теперь проверим второе условие - перпендикулярность диагоналей и их пересечение в центре. Для этого найдем векторное произведение векторов AC и BD и убедимся, что оно равно нулю:

AC x BD = ((-8) * 7 - (-2) * (-1), (-2) * 4 - (-8) * 10, (-8) * (-1) - 7 * 4) = (-54, 76, -52).

Векторное произведение не равно нулю, поэтому диагонали AC и BD не параллельны.

Следовательно, ABCD не является ромбом.