Question

Проверьте пожалуйста правильность решения lim->0(1/x+1)^1/2x=1/lim->0(1+1/x)^1/x×x×1/2x=1/√е

Answer 1

Здесь неопределенность $1^{\infty}$, следовательно, нужно применить второй замечательный предел $\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{\frac{1}{2x}}=\lim_{x \to 0}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)^{\frac{1}{2x}\cdot (-\frac{x}{x+1})\cdot (-\frac{x+1}{x})}=\\ \\ \\ =e^{\lim_{x \to 0}(-\frac{x}{2x(x+1)})}=e^{-\lim_{x \to 0}\frac{1}{2(x+1)}}=e^{-\infty}=0$

Answer 2

Давайте проверим ваше решение шаг за шагом.

У вас дано:

lim(x->0) (1/x + 1)^(1/(2x))

Вы хотите выразить это как:

1/lim(x->0) (1 + 1/x)^(1/x) * x * (1/(2x))

Первый шаг:

lim(x->0) (1/x + 1)^(1/(2x))

Мы видим, что внутри предела у нас есть степень вида (1/u)^v, где u = 1/x + 1 и v = 1/(2x). Мы можем преобразовать это выражение, используя свойство степеней:

(1/u)^v = e^(v * ln(1/u))

Теперь мы можем применить это к вашему пределу:

lim(x->0) e^(v * ln(1/u))

Теперь мы можем внести предел в экспоненту, так как предел экспоненты равен экспоненте предела:

e^(lim(x->0) v * ln(1/u))

Теперь вычислим предел внутри экспоненты:

lim(x->0) v * ln(1/u)

v = 1/(2x), поэтому:

lim(x->0) (1/(2x)) * ln(1/u)

Теперь вычислим ln(1/u):

ln(1/u) = ln(1/(1/x + 1)) = ln(x/(x+1))

Теперь мы можем подставить это обратно в наш предел:

lim(x->0) (1/(2x)) * ln(x/(x+1))

Теперь разберемся с этим пределом. Сначала вычислим предел внутри логарифма:

lim(x->0) ln(x/(x+1))

Известно, что ln(1) = 0, поэтому:

ln(x/(x+1)) = ln(0/1) = ln(0)

Итак, выходит, что предел внутри логарифма равен -∞.

Теперь вернемся к выражению:

lim(x->0) (1/(2x)) * ln(x/(x+1))

Теперь у нас есть произведение предела (1/(2x)) и (-∞), которое равно 0.

Итак, предел вашей исходной функции равен 0, а не 1/√e, как вы утверждали.