Question

Розв'яжить рівняння y'''=x^3+sin3x

Answer 1

Почленно проинтегрируем обе части уравнения

$y''\displaystyle =\int (x^3+\sin 3x)dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{3}\cos 3x+C_1\\ \\ y'=\int\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{3}\cos 3x+C_1\right)dx=\dfrac{x^5}{20}-\dfrac{1}{9}\sin 3x+C_1x+C_2\\ \\ y=\int\left(\dfrac{x^5}{20}-\dfrac{1}{9}\sin 3x+C_1 x+C_2\right)dx=\dfrac{x^6}{120}+\dfrac{1}{27}\cos 3x+\dfrac{C_1x^2}{2}+C_2x+C_3$

Answer 2

Для розв'язання цього диференціального рівняння третього порядку потрібно інтегрувати кожну сторону рівняння кілька разів. Давайте процедуру поетапно.

Почнемо з диференційного рівняння:

y''' = x^3 + sin(3x)

Крок 1: Інтегрування за першими двома порядками:

y'' = ∫(x^3 + sin(3x)) dx

Для інтегрування x^3, використовуємо правило степеневої функції:

∫x^3 dx = (1/4)x^4 + C₁

Для інтегрування sin(3x), використовуємо правило інтегралу від синуса:

∫sin(3x) dx = (-1/3)cos(3x) + C₂

Отже, ми маємо:

y'' = (1/4)x^4 - (1/3)cos(3x) + C₁ + C₂

Крок 2: Інтегрування ще раз:

y' = ∫(1/4)x^4 dx - ∫(1/3)cos(3x) dx + C₁∫dx + C₂∫dx

Для інтегрування (1/4)x^4 інтегруємо знову:

∫(1/4)x^4 dx = (1/20)x^5 + C₃

Для інтегрування (-1/3)cos(3x) знову використовуємо правило інтегралу від синуса:

∫(-1/3)cos(3x) dx = (-1/9)sin(3x) + C₄

Отже, ми отримуємо:

y' = (1/20)x^5 - (1/9)sin(3x) + C₃ + C₄

Крок 3: Інтегрування останнього разу:

y = ∫((1/20)x^5 - (1/9)sin(3x)) dx + C₃∫dx + C₄∫dx

Для інтегрування (1/20)x^5 інтегруємо знову:

∫(1/20)x^5 dx = (1/120)x^6 + C₅

Для інтегрування (-1/9)sin(3x) знову використовуємо правило інтегралу від синуса:

∫(-1/9)sin(3x) dx = (1/27)cos(3x) + C₆

Отже, ми отримуємо:

y = (1/120)x^6 + (1/27)cos(3x) + C₅ + C₆ + C₃x + C₄

Це є загальним розв'язком даного диференціального рівняння третього порядку. C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ і C₆ - це константи, які можна визначити з умови початкового значення або інших умов задачі.