Question

30 БАЛЛОВ Помогите решить показательное уравнение. Пожалуйста с объяснением. Способом вынесения общего множителя. 2^{x}+5*2^{x-1}=7*2^{-5} 5^{x+2}-12*5^{x-1}=565

Answer 1

$1)\; \; 2^{x}+5\cdot 2^{x-1}=7\cdot 2^{-5}\\\\2^{x}\cdot (1+5\cdot 2^{-1})=\frac{7}{2^5}\\\\2^{x}\cdot (1+\frac{5}{2})=\frac{7}{32}\\\\2^{x}\cdot \frac{7}{2}=\frac{7}{32}\\\\2^{x}=\frac{2}{32}\\\\2^{x}=\frac{1}{16}\\\\2^{x}=2^{-4}\\\\x=-4$

$2)\; \; 5^{x+2}-12\cdot 5^{x-1}=565\\\\5^{x}\cdot 5^2-12\cdot 5^{x}\cdot 5^{-1}=565\\\\5^{x}\cdot (25-\frac{12}{5})=565\\\\5^{x}\cdot \frac{113}{5}=565\\\\5^{x}=\frac{565\cdot 5}{113}\\\\5^{x}=25\\\\5^{x}=5^2\\\\x=2$

Answer 2

////////////////////////////////

Answer 3

Давайте рассмотрим первое уравнение:

$2^x + 5 \cdot 2^{x-1} = 7 \cdot 2^{-5}$

Для начала, упростим правую часть уравнения. Заметим, что $7 \cdot 2^{-5} = \frac{7}{32}$, так как $2^{-5}$ равно $\frac{1}{32}$. Теперь мы имеем:

$2^x + 5 \cdot 2^{x-1} = \frac{7}{32}$

Теперь давайте выразим общий множитель, который здесь есть, а именно $2^{x-1}$. Мы можем записать $2^x$ как $2 \cdot 2^{x-1}$:

$2 \cdot 2^{x-1} + 5 \cdot 2^{x-1} = \frac{7}{32}$

Теперь у нас есть общий множитель $2^{x-1}$, который можно вынести за скобки:

$2^{x-1}(2 + 5) = \frac{7}{32}$

Теперь вычислим сумму в скобках:

$7 \cdot 2^{x-1} = \frac{7}{32}$

Далее, делим обе стороны на 7:

$2^{x-1} = \frac{1}{32}$

Теперь, чтобы избавиться от степени 2, мы можем записать $2^{x-1}$ как $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} = \frac{1}{32}$

Теперь у нас есть уравнение с общим множителем $2^x$, который можно выразить следующим образом:

$2^x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{64}$

Теперь, чтобы найти значение $x$, возьмем логарифм обеих сторон по основанию 2:

$x \cdot \log_2(2) = \log_2\left(\frac{1}{64}\right)$

Так как $\log_2(2) = 1$, у нас остается:

$x = \log_2\left(\frac{1}{64}\right)$

Теперь вычислим значение $\log_2\left(\frac{1}{64}\right)$. Мы знаем, что $2^6 = 64$, поэтому $\frac{1}{64} = 2^{-6}$. Таким образом,

$x = \log_2\left(2^{-6}\right) = -6$

Итак, значение $x$ равно -6.

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение:

$5^{x+2} - 12 \cdot 5^{x-1} = 565$

Для упрощения уравнения давайте сначала заметим, что $5^{x-1}$ можно записать как $\frac{1}{5} \cdot 5^x$:

$5^{x+2} - 12 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^x = 565$

Теперь мы можем вынести общий множитель $5^x$