Question

в основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 2. Одно из боковых рёбер равно 3 и перпендикулярно к основанию. Найдите радиус сферы описанной около пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Решение. Пусть Н — основание высоты пирамиды (рисунок 2). Тогда точка

Н совпадает с центром основания ABCD, a поэтому НА=НВ=НС=HD=

1 AC  2 Тем самым точка Н совпадает с центром окружности,

описанной около основания ABCD. Рассмотрим плоскость AS С и

найдем на высоте SH точку О такую, что OS=ОА (рисунок 3). Так как

SH  AC , AH  2 , и AS=3, то SH  32  (

2)2  7 . Обозначим

SO=R. Тогда OH  7  R и

AO2 AH 2 OH 2 2  (

7  R)2 9  2

7R  R2 . Из условия АО=R

составляем уравнение: 9  2

7R  R2 R2 . Отсюда R 

Рассматривая треугольники АНО, ВНО, СНО, DHO, получаем, что они

прямоугольные и равны, так как имеют соответственно равные катеты.

Отсюда АО=ВО=СО=DO=SO. Поэтому сфера с центром О и радиусом

9



7 .содержит все вершины пирамиды.

14

Ответ: R

9



7 .

14

Answer 2

Для нахождения радиуса сферы, описанной вокруг данной четырёхугольной пирамиды, мы можем воспользоваться пирамидальной теоремой.

Пирамидальная теорема гласит, что радиус сферы описанной вокруг пирамиды можно найти по следующей формуле:

$R = \frac{a}{2\sin(\theta/2)}$

где:

• R - радиус сферы описанной около пирамиды,
• a - длина боковой грани пирамиды,
• θ - угол между боковой гранью пирамиды и её основанием.

В данной задаче длина боковой грани пирамиды (одного из боковых рёбер) равна 3, а основание - квадрат со стороной 2. Чтобы найти угол θ, можно воспользоваться тригонометрией. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной длины основания (1) и высотой пирамиды (h):

$\sin(\theta/2) = \frac{1}{h}$

Теперь нужно найти высоту пирамиды h. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной длины основания и половиной длины боковой грани:

$h^2 = 2^2 - 1^2$ $h^2 = 4 - 1$ $h^2 = 3$ $h = \sqrt{3}$

Теперь, когда у нас есть значение h, мы можем найти угол θ:

$\sin(\theta/2) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\theta/2 = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Теперь найдем угол θ:

$\theta = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Теперь мы можем использовать формулу для радиуса R:

$R = \frac{3}{2\sin(\theta/2)}$ $R = \frac{3}{2\sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)}$ $R = \frac{3}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}$ $R = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, радиус сферы, описанной около данной четырёхугольной пирамиды, равен $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.