Question

Докажите, что уравнение 6x^5+10x^3+2x-1=40 не имеет отрицательных корней

Answer 1

$6x^5+10x^3+2x=41$

Очевидно, что функция $y=6x^5+10x^3+2x$ - возрастающая, как сумма трёх возрастающих функций, также является нечетной (график симметричен относительно начала координат)

График функции $y=6x^5+10x^3+2x$ пересечет прямую, параллельную оси ОХ $y=41$ только в одной точке и при этом этот корень положителен.

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение $6x^5 + 10x^3 + 2x - 1 = 40$ не имеет отрицательных корней, мы можем воспользоваться теоремой о промежуточных значениях. Эта теорема утверждает, что если функция непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и принимает разные знаки в точках $a$ и $b$, то она обязательно принимает значение 0 на интервале $(a, b)$.

Давайте сначала преобразуем уравнение, чтобы оно имело вид функции:

$f(x) = 6x^5 + 10x^3 + 2x - 41.$

Теперь мы видим, что у нас есть два значения, $f(x) = 0$ и $f(x) = 40$. Поскольку $f(x)$ непрерывна для всех действительных чисел, мы можем использовать теорему о промежуточных значениях, чтобы доказать, что между любыми двумя корнями уравнения $f(x) = 0$ (если они существуют) есть точка, в которой $f(x) = 40$.

Теперь мы видим, что $f(0) = -41$ (так как $-41$ это $0 - 41$), а $f(1) = 6 + 10 + 2 - 41 = -23$. Таким образом, $f(x)$ принимает разные знаки в точках $x = 0$ и $x = 1$. Следовательно, по теореме о промежуточных значениях существует точка $c$ между $0$ и $1$, в которой $f(c) = 40$.

Это означает, что уравнение $6x^5 + 10x^3 + 2x - 41 = 40$ имеет корень $c$, и так как $f(x)$ принимает разные знаки в точках $0$ и $1$, $c$ не может быть отрицательным. Следовательно, уравнение $6x^5 + 10x^3 + 2x - 1 = 40$ не имеет отрицательных корней.