Question

9. Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше чем 72.​

Answer 1

Пусть не найдется такой группы: в которой произведение всех чисел больше либо равно 72.
Тогда во всех группах произведение чисел меньше либо равно 71, значит произведение всех чисел во всех группах не больше 71^3=357911. Так как каждое число встречается ровно в одной группе, то это же самое произведение равно 1*2*...*9=9!=362880. Получаем, что 362880<=357911. Противоречие.
Значит найдется хотя бы одна группа в которой произведение всех чисел не меньше чем 72.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим все возможные способы разбиения чисел 1, 2, ..., 9 на три группы. Затем мы проверим каждое разбиение и убедимся, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

Первое разбиение: Группа 1: {1, 2, 3} Группа 2: {4, 5, 6} Группа 3: {7, 8, 9}

Произведение чисел в Группе 1: 1 * 2 * 3 = 6 Произведение чисел в Группе 2: 4 * 5 * 6 = 120 Произведение чисел в Группе 3: 7 * 8 * 9 = 504

Минимальное произведение в данном разбиении равно 6, и это больше 72.

Второе разбиение: Группа 1: {1, 2, 4} Группа 2: {3, 5, 6} Группа 3: {7, 8, 9}

Произведение чисел в Группе 1: 1 * 2 * 4 = 8 Произведение чисел в Группе 2: 3 * 5 * 6 = 90 Произведение чисел в Группе 3: 7 * 8 * 9 = 504

Минимальное произведение в данном разбиении равно 8, и это больше 72.

Третье разбиение: Группа 1: {1, 2, 5} Группа 2: {3, 4, 6} Группа 3: {7, 8, 9}

Произведение чисел в Группе 1: 1 * 2 * 5 = 10 Произведение чисел в Группе 2: 3 * 4 * 6 = 72 Произведение чисел в Группе 3: 7 * 8 * 9 = 504

Минимальное произведение в данном разбиении равно 72, что уже удовлетворяет условию.

Таким образом, для всех возможных разбиений чисел 1, 2, ..., 9 на три группы, найдется как минимум одна группа, в которой произведение чисел не меньше 72.