Question

Дана функция р=5/(3-4*cos a) Найди уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом а положительная полуось абсцисс с полярной осью

Answer 1

$\rho=\frac{5}{3-4cosa}\\\\cosa=\frac{x}{\rho}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\; \; ,\; \; \sqrt{x^2+y^2}=\frac{5}{3-4\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\\\\\Big (3-\frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big )\cdot \sqrt{x^2+y^2}=5\\\\3\sqrt{x^2+y^2}-4x=5\; \; ,\; \; 3\sqrt{x^2+y^2}=4x+5\\\\9\, (x^2+y^2)=16x^2+40x+25\\\\7x^2+40x-9y^2+25=0\\\\7\, (x^2+\frac{40}{7}x)-9y^2=-25\\\\7\cdot \Big ((x+\frac{20}{7})^2-\frac{400}{49}\Big)-9y^2=-25\\\\7(x+\frac{20}{7})^2-9y^2=\frac{400}{7}-25\\\\7\, (x+\frac{20}{7})^2-9y^2=\frac{225}{7}\; \Big |\cdot \frac{7}{225}$

$\frac{49}{225}\, (x+\frac{20}{7})^2-\frac{63}{225}\, y^2=1\\\\\frac{(x+\frac{20}{7})^2}{\frac{225}{49}}-\frac{y^2}{\frac{225}{63}}=1\\\\Centr\; (-\frac{20}{7}\, ,\, 0\, )\\\\a^2=\frac{225}{49}\; \; \to \; \; a=\frac{15}{7}\; \; ,\; \; b^2=\frac{225}{63}\; \; \to \; \; b=\frac{15}{\sqrt{63}}=\frac{5}{\sqrt7}$

Получили гиперболу, центр в точке   $(-\frac{20}{7}\, ,\, 0\, )$  , действительная и мнимая полуоси  (a и b)  указаны выше.

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для того чтобы найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, вы можете воспользоваться преобразованиями из полярных координат в декартовы координаты.

В полярных координатах точка задается координатами (r, a), где r - радиус (расстояние от начала координат до точки), а - угол между положительной полуосью абсцисс и линией, соединяющей начало координат и точку.

Для данной функции r = 5 / (3 - 4 * cos(a)) мы можем воспользоваться следующими формулами для преобразования в декартовы координаты (x, y):

x = r * cos(a) y = r * sin(a)

В нашем случае, r = 5 / (3 - 4 * cos(a)), поэтому:

x = (5 / (3 - 4 * cos(a))) * cos(a) y = (5 / (3 - 4 * cos(a))) * sin(a)

Теперь у нас есть выражения для x и y в декартовых координатах. Эти выражения представляют собой параметрические уравнения линии. Если вы хотите получить уравнение в виде функции y(x), вам нужно избавиться от параметра "a". Для этого можно воспользоваться формулой для tg(a):

tg(a) = sin(a) / cos(a)

Подставим это выражение в уравнение для y:

y = (5 / (3 - 4 * cos(a))) * sin(a)

y = (5 / (3 - 4 * cos(a))) * (sin(a) / cos(a))

Теперь у нас есть уравнение в виде функции y(x):

y(x) = (5 * sin(a)) / (cos(a) * (3 - 4 * cos(a)))

Для полного уравнения линии в прямоугольной декартовой системе координат нужно также подставить x в это уравнение:

x = (5 / (3 - 4 * cos(a))) * cos(a)

Теперь у нас есть полное уравнение линии в прямоугольных координатах:

y(x) = (5 * sin(a)) / (cos(a) * (3 - 4 * cos(a))) x = (5 / (3 - 4 * cos(a))) * cos(a)

Помните, что это уравнение зависит от угла "a", и его вид может изменяться в зависимости от значения этого угла.