Question

Дифференциация уравнений1)f(x)=(2x^2-18)/x-3 x0=-132)f(x)=(x^3-3x+3x-1)/x-1x0=3​

Answer 1

Ответ:

1) f'(-13) = 2

2) f'(3) = 4

Пошаговое объяснение:

1) $f(x)=\frac{2*x^{2} -18}{x-3}\\f'(x)=(\frac{2*x^{2} -18}{x-3})'=\frac{(2*x^{2} -18)'*(x-3)-(x-3)'*(2*x^{2} -18)}{(x-3)^{2} }=\\=\frac{(2*2*x^{2-1} -0)*(x-3)-(1-0)*(2*x^{2} -18)}{(x-3)^{2} }=\frac{4*x*(x-3)-(2x^{2} -18)}{(x-3)^{2} }=\\=\frac{4*x^{2}-12*x-2*x^{2} +18}{(x-3)^{2} }=\frac{2*x^{2}-12*x+18}{(x-3)^{2}}=\frac{2*(x^{2}-6*x+9)}{(x-3)^{2}}=\frac{2*(x-3)^{2}}{(x-3)^{2}}=2$

Производная этой функции постоянная, поэтому при x₀= -13:

f'(-13)=2.

 2) $f(x)=\frac{x^{3} -3*x^{2}+3*x-1}{x-1}\\f'(x)=(\frac{x^{3} -3*x^{2}+3*x-1}{x-1})'=\frac{(x^{3} -3*x^{2}+3*x-1)'*(x-1)-(x-1)'*(x^{3} -3*x^{2}+3*x-1)}{(x-1)^{2} }=\\=\frac{(3*x^{3-1} -3*2*x^{2-1}+3*1-0)*(x-1)-(1-0)*(x^{3} -3*x^{2}+3*x-1)}{(x-1)^{2} }=\\=\frac{(3*x^{2} -6*x+3)*(x-1)-1*(x^{3} -3*x^{2}+3*x-1)}{(x-1)^{2} }=\\=\frac{3*x^{3} -6*x^{2}+3*x-3*x^{2} +6*x-3-x^{3} +3*x^{2}-3*x+1}{(x-1)^{2} }=$

$=\frac{2*x^{3} -6*x^{2}+6*x-2}{(x-1)^{2} }=\frac{2*(x^{3} -3*x^{2}+3*x-1)}{(x-1)^{2} }=\\=\frac{2*(x -1)^{3}}{(x-1)^{2} }=2*(x-1)$

Тогда при x₀= 3:

f'(3)= 2·(3-1)=2·2=4

Answer 2

Давайте выполним дифференциацию данных функций по заданным точкам $x_0$ и найдем значения производных в этих точках.

1. $f(x) = \frac{{2x^2 - 18}}{{x - 3}}$, $x_0 = -13$:

Для начала найдем производную функции $f(x)$ по $x$ с помощью правила деления и степенного правила:

$f'(x) = \frac{{(x - 3) \cdot (4x) - (2x^2 - 18) \cdot 1}}{{(x - 3)^2}}$

Теперь подставим $x_0 = -13$ в $f'(x)$ для нахождения значения производной в этой точке:

$f'(-13) = \frac{{(-13 - 3) \cdot (4 \cdot (-13)) - (2 \cdot (-13)^2 - 18) \cdot 1}}{{(-13 - 3)^2}}$

Рассчитаем:

$f'(-13) = \frac{{(-16) \cdot (-52) - ((338) - 18)}}{{(-16)^2}} = \frac{{832 - 320}}{{256}} = \frac{{512}}{{256}} = 2$

Итак, производная функции $f(x)$ в точке $x_0 = -13$ равна $f'(-13) = 2$.

2. $f(x) = \frac{{x^3 - 3x + 3x - 1}}{{x - 1}}$, $x_0 = 3$:

Найдем производную функции $f(x)$ аналогично:

$f'(x) = \frac{{(x - 1) \cdot (3x^2 - 3) - (x^3 - 3x + 3x - 1) \cdot 1}}{{(x - 1)^2}}$

Теперь подставим $x_0 = 3$ в $f'(x)$ для нахождения значения производной в этой точке:

$f'(3) = \frac{{(3 - 1) \cdot (3 \cdot 3^2 - 3) - (3^3 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 - 1) \cdot 1}}{{(3 - 1)^2}}$

Рассчитаем:

$f'(3) = \frac{{(2) \cdot (18 - 3) - (27 - 9 + 9 - 1)}}{{(2)^2}} = \frac{{(2) \cdot (15) - (36)}}{{4}} = \frac{{30 - 36}}{{4}} = -\frac{{6}}{{4}} = -\frac{{3}}{{2}}$

Итак, производная функции $f(x)$ в точке $x_0 = 3$ равна $f'(3) = -\frac{{3}}{{2}}$.