Question

В базисе векторов p ⃗ и q ⃗: (|p ⃗ |=2,|q ⃗ |=3,∠p ⃗q ⃗=π/3) заданы вектора a ⃗ и b ⃗: a ⃗ = (m + 1) p ⃗ + n q ⃗ b ⃗ = n p ⃗ – (m+1) q ⃗ Найти косинус угла между векторами a ⃗ и b ⃗

Answer 1

Ответ:

cos∠(a,b)=(6·(n²-(m+1)²)-5·(m+1)·n)/(4·(m+1)²-9·n²)

Пошаговое объяснение:

Векторов выделим жирным шрифтом.

Скалярное произведение векторов a и b определяется по формуле:

(a, b) = |a|·|b|·cos∠(a,b),

где ∠(a,b) - угол между векторами a и b.

|a|²=(a, a) = ( (m+1)·p+n·q, (m+1)·p+n·q ) =(m+1)²·p²+2·(m+1)·n·(p,q)+n²·q²=

=(m+1)²·|p|²+2·(m+1)·n·(|p|·|q|·cos∠(p,q))+n²·|q|²=

=(m+1)²·2²+2·(m+1)·n·2·3·cos(π/3)+n²·3²=4·(m+1)²+12·(m+1)·n·1/2+9·n²=

=4·(m+1)²+6·(m+1)·n·+9·n²=(2·(m+1)+3·n)²

Тогда |a| = 2·(m+1)+3·n.

|b|²=(b, b) = ( n·p-(m+1)·q, n·p-(m+1)·q ) =n²·p²-2·(m+1)·n·(p,q)+(m+1)²·q²=

=n²·|p|²-2·(m+1)·n·(|p|·|q|·cos∠(p,q))+(m+1)²·|q|²=

=n²·2²-2·(m+1)·n·2·3·cos(π/3)+(m+1)²·3²=4·(m+1)²-12·(m+1)·n·1/2+9·n²=

=4·n²-6·(m+1)·n·+9·(m+1)²=(2·(m+1)-3·n)²

Тогда |b|=2·(m+1)-3·n.

С другой стороны:

(a, b) = ( (m+1)·p+n·q, n·p-(m+1)·q)= (m+1)·n·p²+n²·(q, p)-(m+1)²·(q,p)-(m+1)·n·q²=

=(m+1)·n·|p|²+(n²-(m+1)²)·(|p|·|q|·cos∠(p,q))-(m+1)·n·|q|²=

=(m+1)·n·2²+(n²-(m+1)²)·2·3·cos(π/3)-(m+1)·n·3²=(m+1)·n·(4-9)+(n²-(m+1)²)·6·1/2=

= -5·(m+1)·n+6·(n²-(m+1)²)

Тогда

-5·(m+1)·n+6·(n²-(m+1)²)=(2·(m+1)+3·n)·(2·(m+1)-3·n)·cos∠(a,b)

cos∠(a,b)·(2·(m+1)+3·n)·(2·(m+1)-3·n)= -5·(m+1)·n+6·(n²-(m+1)²)

cos∠(a,b)=(6·(n²-(m+1)²)-5·(m+1)·n)/((2·(m+1)+3·n)·(2·(m+1)-3·n)) или

cos∠(a,b)=(6·(n²-(m+1)²)-5·(m+1)·n)/(4·(m+1)²-9·n²)

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между векторами a ⃗ и b ⃗, сначала нужно выразить сами векторы a ⃗ и b ⃗ через векторы p ⃗ и q ⃗, а затем воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами.

Из условия известно, что |p ⃗ | = 2, |q ⃗ | = 3 и ∠p ⃗ q ⃗ = π/3.

Для начала найдем проекции векторов a ⃗ и b ⃗ на вектор p ⃗:

a_p = (a ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | = ((m + 1) p ⃗ + n q ⃗ ) · p ⃗ / |p ⃗ | = (m + 1) (p ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | + n (p ⃗ · q ⃗ ) / |p ⃗ |

b_p = (b ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | = (n p ⃗ - (m + 1) q ⃗ ) · p ⃗ / |p ⃗ | = n (p ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | - (m + 1) (p ⃗ · q ⃗ ) / |p ⃗ |

Теперь мы можем найти проекции векторов a ⃗ и b ⃗ на вектор q ⃗:

a_q = (a ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ | = ((m + 1) p ⃗ + n q ⃗ ) · q ⃗ / |q ⃗ | = (m + 1) (p ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ | + n (q ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ |

b_q = (b ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ | = (n p ⃗ - (m + 1) q ⃗ ) · q ⃗ / |q ⃗ | = n (p ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ | - (m + 1) (q ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ |

Теперь у нас есть проекции векторов a ⃗ и b ⃗ на векторы p ⃗ и q ⃗:

a ⃗ = a_p p ⃗ + a_q q ⃗ b ⃗ = b_p p ⃗ + b_q q ⃗

Теперь мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a ⃗ · b ⃗ ) / (|a ⃗ | |b ⃗ |)

где a ⃗ · b ⃗ - скалярное произведение векторов a ⃗ и b ⃗ , |a ⃗ | - длина вектора a ⃗ , |b ⃗ | - длина вектора b ⃗ .

Теперь вычислим скалярное произведение a ⃗ и b ⃗ :

a ⃗ · b ⃗ = (a_p p ⃗ + a_q q ⃗ ) · (b_p p ⃗ + b_q q ⃗ ) = a_p b_p (p ⃗ · p ⃗ ) + a_p b_q (p ⃗ · q ⃗ ) + a_q b_p (q ⃗ · p ⃗ ) + a_q b_q (q ⃗ · q ⃗ )

Теперь подставим выражения для a_p, a_q, b_p и b_q:

a ⃗ · b ⃗ = [(m + 1) (p ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | + n (p ⃗ · q ⃗ ) / |p ⃗ |] * [n (p ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | - (m + 1) (p ⃗ · q ⃗ ) / |p ⃗ |] + [(m + 1) (p ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ | + n (q ⃗ · q ⃗ ) / |q ⃗ |] * [n (p ⃗ · p ⃗ ) / |p ⃗ | - (m + 1) (p ⃗ · q ⃗ ) / |p ⃗ |]

Теперь найдем длины векторов a ⃗ и b ⃗ :

|a ⃗ | = sqrt((a ⃗ · a ⃗ )) |b ⃗ | = sqrt((b ⃗ · b ⃗ ))

Теперь мы можем вычислить cos(θ):

cos(θ) = (a ⃗ · b ⃗ ) / (|a ⃗ | |b ⃗ |)

Подставим все выражения и вычислим cos(θ). Осталось только провести несколько вычислений.