Question

Помогите люди добрые:( решить СЛАУ методом Гаусса 3x-y+2z=9 2x+3y-z=0 2x+4y+3z=3​

Answer 1

Ответ: (2, -1, 1)

Пошаговое объяснение: Запишем систему уравнений в матричном виде.

$\left[\begin{array}{cccc}3&-1&2&9\\2&3&-1&0\\2&4&3&3\end{array}\right]$

Приведем к ступенчатому виду. Применяем операцию $R_1=\frac{1}{3} R_1$ к $R_1$ (к 1 строке) для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 1.

$\left[\begin{array}{cccc}1&-\frac{1}{3} &\frac{2}{3} &3\\2&3&-1&0\\2&4&3&3\end{array}\right]$

Применяем операцию $R_2=-2\times R_1+R_2$ к $R_2$ (ко 2 строке) для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&-\frac{1}{3} &\frac{2}{3} &3\\2&3&-1&0\\2&4&3&3\end{array}\right]$

Применяем операцию $R_3=-2\times R_1+R_3$ к $R_3$ (к 3 строке) для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&-\frac{1}{3} &\frac{2}{3} &3\\0&\frac{11}{3} &-\frac{7}{3}&-6 \\0&\frac{14}{3} &\frac{5}{3} &-3\end{array}\right]$

Применяем операцию $R_2=\frac{3}{11}R_2$ к $R_2$ для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 1.

$\left[\begin{array}{cccc}1&-\frac{1}{3} &\frac{2}{3} &3\\0&1&-\frac{7}{11} &-\frac{18}{11} \\0&\frac{14}{3} &\frac{5}{3} &-3\end{array}\right]$

Применяем операцию $R_1=\frac{1}{3} R_2+R_1$ к $R_1$ для того, чтобы сделать некоторые элементы равными 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&\frac{5}{11}&\frac{27}{11} \\0&1&-\frac{7}{11}&-\frac{18}{11} \\0&\frac{14}{3} &\frac{5}{3} &-3\end{array}\right]$

Применяем операцию $R_3=-\frac{14}{3} R_2+R_3$ к $R_3$ для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&\frac{5}{11}&\frac{27}{11} \\0&1&-\frac{7}{11}&-\frac{18}{11} \\0&0&\frac{51}{11} &\frac{51}{11} \end{array}\right]$

Применяем операцию $R_3=\frac{11}{51} R_3$ к $R_3$ для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 1.

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&\frac{5}{11}&\frac{27}{11} \\0&1&-\frac{7}{11}&-\frac{18}{11} \\0&0&1 &1 \end{array}\right]$

Применяем операцию $R_1=-\frac{5}{11}R_3+R_1$ к $R_1$ для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&2 \\0&1&-\frac{7}{11}&-\frac{18}{11} \\0&0&1 &1 \end{array}\right]$

Применяем операцию $R_2=\frac{7}{11}R_3+R_2$ к $R_2$ для того, чтобы сделать некоторые элементы равными 0.

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\end{array}\right]$

Воспользуемся полученной матрицей для того, чтобы описать итоговое решение системы уравнений.

$x=2$

$y=-1$

$z=1$

Решением является множество упорядоченных пар, которые удовлетворяют системе.

$(2, -1, 1)$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данную систему линейных уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. Метод Гаусса состоит из нескольких шагов:

1. Преобразование системы уравнений в треугольную форму.
2. Обратный ход, чтобы найти значения переменных.

Итак, у нас есть следующая система уравнений:

1. 3x - y + 2z = 9
2. 2x + 3y - z = 0
3. 2x + 4y + 3z = 3

Шаг 1: Преобразование системы в треугольную форму.

Сначала давайте избавимся от переменной x в уравнениях 2 и 3. Для этого вычтем уравнение 1 из уравнений 2 и 3.

Из уравнения 2: (2x + 3y - z) - (3x - y + 2z) = 0 - 9 2x + 3y - z - 3x + y - 2z = -9

Это упрощается до: -x + 4y - 3z = -9

Из уравнения 3: (2x + 4y + 3z) - (3x - y + 2z) = 3 - 9 2x + 4y + 3z - 3x + y - 2z = -6

Это упрощается до: -x + 5y + z = -6

Теперь наша система уравнений имеет следующий вид:

1. 3x - y + 2z = 9
2. -x + 4y - 3z = -9
3. -x + 5y + z = -6

Теперь мы можем начать решать эту систему методом Гаусса.

Шаг 2: Обратный ход.

Начнем с последнего уравнения (уравнение 3) и используем его, чтобы избавиться от переменной x в уравнениях 1 и 2.

Уравнение 3: -x + 5y + z = -6

Умножим его на -1 и сложим с уравнением 2: -(-x + 5y + z) + (-x + 4y - 3z) = -6 - (-9) x - 5y - z - x + 4y - 3z = -6 + 9

Это упрощается до: -x - z = 3

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 3x - y + 2z = 9
2. -x + 4y - 3z = -9
3. -x - z = 3

Теперь можем решить систему методом обратного хода.

Из уравнения 3 выразим x: -x - z = 3 x = -3 - z

Подставим это значение x в уравнение 2: -(-3 - z) + 4y - 3z = -9 3 + z + 4y - 3z = -9

Теперь объединим переменные z: (z - 3z) + 4y + 3 = -9 -2z + 4y + 3 = -9

Переносим 3 на правую сторону: -2z + 4y = -9 - 3 -2z + 4y = -12

Делим оба члена на -2: z - 2y = 6

Теперь, имея значение z, можем выразить y из уравнения 2: -3 - z + 4y - 3z = -9

Сначала объединим переменные z: (-z - 3z) + 4y - 3 = -9 -4z + 4y - 3 = -9

Теперь прибавим 3 к обеим сторонам: -4z + 4y = -9 + 3 -4z + 4y = -6

Делим оба члена на 4: -z + y = -6/4 -z + y = -3/2

Добавим это к уравнению, которое мы выразили ранее: z - 2y = 6 -z + y = -3/2

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными, y и z. Мы можем решить их одновременно:

Сложим оба уравнения: (z - 2y) + (-z + y) = 6 - 3/2

Это упрощается до: -z - y = 9/2

Теперь выразим y: y = 9/2 + z

Теперь мы знаем значения y и z. Мы можем вернуться к уравнению для x и подставить значения y и z: x = -3 - z

Теперь у нас есть значения x, y и z: x = -3 - z y = 9/2 + z z = z

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса будет иметь вид: x = -3 - z y = 9/2 + z z = z

Вы можете выбрать любое значение для z, и затем вычислить соответствующие значения x и y. Например, если вы установите z = 0, то получите одно из возможных решений:

x = -3 y = 9/2 z = 0