Question

Лимит(х->inf)x*(ln(2+x)-ln(x)) решите плиз

Answer 1

Сначала заменяем разность логарифмов через логарифм отношения. Далее через эквивалентность.

Answer 2

Для нахождения предела данной функции при $x \rightarrow \infty$, вы можете воспользоваться правилом Лопиталя, которое позволяет вычислить предел неопределенности $0 \cdot \infty$.

Сначала давайте разложим разность логарифмов:

$$\ln(2+x) - \ln(x) = \ln\left(\frac{2+x}{x}\right)$$

Теперь у нас есть следующая функция для вычисления предела:

$$\lim_{{x \to \infty}} x \cdot \ln\left(\frac{2+x}{x}\right)$$

Далее, мы можем использовать правило Лопиталя для вычисления этого предела. Для этого дифференцируем числитель и знаменатель по $x$:

Числитель:

$$\frac{d}{dx}(2+x) = 1$$

Знаменатель:

$$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

Теперь вычисляем предел:

$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln\left(\frac{2+x}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{2+x}{x}\right)$$

Теперь применяем правило Лопиталя снова:

Числитель:

$$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{2+x}{x}\right)\right) = \frac{1}{\frac{2+x}{x}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2+x}{x}\right) = \frac{1}{1+\frac{2}{x}}$$

Знаменатель:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$$

Теперь вычисляем предел:

$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{1+\frac{2}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{1+\frac{2}{x}}$$

Снова применяем правило Лопиталя:

Числитель:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\right) = 2x$$

Знаменатель:

$$\frac{d}{dx}\left(1+\frac{2}{x}\right) = -\frac{2}{x^2}$$

Теперь вычисляем предел:

$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{2x}{-\frac{2}{x^2}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x^3}{-2} = -\lim_{{x \to \infty}} x^3$$

Как $x$ стремится к бесконечности, предел становится $-\infty$.

Итак, предел функции $x \cdot (\ln(2+x) - \ln(x))$ при $x \rightarrow \infty$ равен $-\infty$.