Question

1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2). 2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке О(1;-3) и которая проходит через точку В(-2;5). 3. Найдите координаты вершины М параллелограмма MNKF, если N(5;5), K(8;-1), F(6;-2). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(2;-1) и C(-3;15). 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек М(-1;2) и N(5;4). 6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = 7x – 2 и проходит через центр окружности х2 + у2 – 10х – 2у + 20 = 0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Координаты середины отрезка - это среднее арифметическое от координат концов отрезка.

C( (-3+5)/2 ; (-4-2)/2 ) = (2/2; -6/2) = (1; -3)

2) Радиус окружности - это расстояние между ее центром и точкой B.

$R=\sqrt{(-2-1)^2+(5+3)^2} =\sqrt{(-3)^2+8^2}=\sqrt{9+64} = \sqrt{73}$

Уравнение окружности

(x-x0)^2 + (y-y0)^2 = R^2, где (x0; y0) - координаты точки О.

(x-1)^2 + (y+3)^2 = 73

3) Точка М сдвинута от точки N на такое же расстояние и в том же направлении, как точка F от точки К.

F(K-2; K-1) = (8-2; -1-1) = (6; -2)

M(N-2; N-1) = (5-2; 5-1) = (3; 4)

Ответ: M(3; 4)

4) Уравнение прямой по двум точкам

(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)

(x + 3)/(2 + 3) = (y - 15)/(-1 - 15)

(x + 3)/5 = -(y - 15)/16

Это каноническое уравнение.

Можно преобразовать в общий вид ax + by + c = 0

16(x + 3) = -5(y - 15)

16x + 48 = -5y + 75

16x + 5y - 27 = 0

Или в вид с угловым коэффициентом y = kx + b

5y = -16x + 27

y = -16x/5 + 27/5

5) Нужно найти точку на оси ординат, то есть x = 0, которая лежит на одинаковом расстоянии от точек М и N. Это точка А(0; y)

|AM| = |AN|

$\sqrt{(0+1)^2 + (y-2)^2} =\sqrt{(0-5)^2 +(y-4)^2}$

Избавляемся от корней и раскрываем скобки

1 + y^2 - 4y + 4 = 25 + y^2 - 8y + 16

Приводим подобные

8y - 4y = 36

y = 36/4 = 9

Ответ: (0; 9)

6) Если прямые параллельны, то коэффициенты при х одинаковы.

Уравнение имеет вид: y = 7x + b

Теперь окружность. Приведем уравнение к обычному виду.

x^2 + y^2 - 10x - 2y + 20 = 0

(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 20 = 0

(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 6

Центр этой окружности O(5; 1)

Уравнение прямой (x - 5)/1 = (y - 1)/7

7(x - 5) = y - 1

y = 7x - 35 + 1

Ответ: y = 7x - 34

Answer 2

1. Для нахождения длины отрезка AB и координат его середины, вы можете использовать формулы: Длина AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) Середина AB: ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

   В данном случае: A(-3, -4) и B(5, -2). Длина AB = √((5 - (-3))² + (-2 - (-4))²) = √((8)² + (2)²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17 Координаты середины AB: ((-3 + 5) / 2, (-4 + (-2)) / 2) = (1, -3)

2. Уравнение окружности с центром в точке O(1,-3) и проходящей через точку B(-2,5) имеет вид: (x - 1)² + (y + 3)² = R²

   Чтобы найти радиус R, подставьте координаты точки B в уравнение: (-2 - 1)² + (5 + 3)² = R² 9 + 64 = R² R² = 73

   Таким образом, уравнение окружности будет: (x - 1)² + (y + 3)² = 73

3. Для нахождения координат вершины M параллелограмма MNKF, мы можем воспользоваться тем, что противоположные вершины параллелограмма имеют равные координаты. Таким образом, координаты вершины M равны координатам вершины K, то есть M(8, -1).

4. Уравнение прямой, проходящей через точки A(2,-1) и C(-3,15), можно найти, используя уравнение прямой в общем виде: y = mx + b,

   где m - наклон прямой, а b - свободный член.

   Начнем с вычисления наклона m: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (15 - (-1)) / (-3 - 2) = 16 / (-5) = -16/5.

   Теперь мы знаем наклон, и мы можем использовать одну из точек (например, A) для нахождения b: -1 = (-16/5) * 2 + b, -1 = -32/5 + b, b = -1 + 32/5, b = -5/5 + 32/5, b = 27/5.

   Таким образом, уравнение прямой: y = (-16/5)x + 27/5.

5. Чтобы найти точку, принадлежащую оси ординат и равноудаленную от точек M(-1,2) и N(5,4), можно воспользоваться средней координатой x и координатой y точек M и N, так как искомая точка будет лежать на оси ординат:

   x_среднее = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2, y_среднее = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3.

   Таким образом, искомая точка находится в (2,3).

6. Чтобы найти уравнение прямой, параллельной прямой y = 7x - 2 и проходящей через центр окружности x² + y² - 10x - 2y + 20 = 0, нужно использовать тот факт, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон.

   Наклон прямой y = 7x - 2 равен 7.

   Теперь найдем центр окружности. Преобразуем уравнение окружности, выразив x и y: x² + y² - 10x - 2y + 20 = 0, x² - 10x + y² - 2y + 20 = 0.

   Завершим квадрат для x и y: (x² - 10x + 25) + (y² - 2y + 1) + 20 - 25 - 1 = 0, (x - 5)² + (y - 1)² - 6 = 0.

   Таким образом, центр окружности находится в точке (5, 1).

   Теперь, учитывая, что прямая проходит через центр окружности и имеет наклон 7, мы можем использовать уравнение прямой в общем виде: y = mx + b, y = 7x + b.

   Подставим координаты центра окружности (5, 1): 1 = 7 * 5 + b, 1 = 35 + b.

   Выразим b: b = 1 - 35, b = -34.

   Таким образом, уравнение прямой: y = 7x - 34.