Question

Решить уравнение: 2 (2cos4x + 1) · cosx = 1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$2(2cos4x+1) cosx=1 |*sinx\neq 0;\\2sinxcosx(2cos4x+1) =sinx;\\sin2x(2cos4x+1) =sinx| * 2cos2x\neq 0;\\2sin2xcos2x (2cos4x+1) =2sinxcos2x;\\sin4x (2cos4x+1)=2sinxcos2x;\\2sin4xcos4x+sin4x =2sinxcos2x;\\sin8x +sin4x =2sinxcos2x;\\2sin6x cos 2x-2sinxcos2x=0;\\2cos2x ( sin6x -sinx)=0;\\cos2x *2 sin\frac{5x}{2} * cos \frac{7x}{2} =0;\\cos2x * sin\frac{5x}{2} * cos \frac{7x}{2} =0;$

Так как $cos2x \neq 0,$ то

$\left [ \begin{array}{lcl} {{sin\frac{5x}{2} =0,} \\\\ {cos\frac{7x}{2} =0};} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [ \begin{array}{lcl} {{\frac{5x}{2} =\pi n,~n\in\mathbb {Z},} \\ \\{\frac{7x}{2} =\frac{\pi }{2} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}};} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [ \begin{array}{lcl} {{5x=2\pi n,~n\in\mathbb {Z},} \\ {7x=\pi+2\pi k,~k\in\mathbb {Z} ; }} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left [ \begin{array}{lcl} {{x=\frac{2\pi n}{5} ,~n\in\mathbb {Z},} \\ \\{x=\frac{\pi }{7} +\frac{2\pi k}{7} ~k\in\mathbb {Z},}} \end{array} \right.$

Так как должны выполняться условия : $sinx\neq 0; cos2x\neq 0$, то

$x=\frac{2\pi n}{5} ,~n\in\mathbb {Z}$ ,n  -не кратно  5;

$x= \frac{\pi }{7} +\frac{2\pi k}{7} ,~k\in\mathbb {Z}, k\neq 3;k\neq 10;k\neq 17$ и т.д.

Answer 2

Чтобы решить уравнение $2(2\cos(4x) + 1) \cdot \cos(x) = 1$, давайте разберемся с ним пошагово:

1. Раскроем скобки:

   $4\cos(4x) + 2\cos(x) = 1$.

2. Перенесем все члены в левую часть уравнения:

   $4\cos(4x) + 2\cos(x) - 1 = 0$.

3. Заметим, что это квадратное уравнение в терминах $\cos(x)$. Давайте введем замену:

   $t = \cos(x)$.

   Тогда уравнение примет вид:

   $4t^4 + 2t - 1 = 0$.

4. Это квадратное уравнение в терминах $t$. Решим его. Для этого можно воспользоваться различными методами, например, методом подбора, методом половинного деления или методом Ньютона.

   После решения уравнения для $t$ найденные значения подставим обратно в уравнение $t = \cos(x)$, чтобы найти значения $x$.

Обратите внимание, что решение уравнения $4t^4 + 2t - 1 = 0$ может быть нетривиальным и может включать комплексные корни.