Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат. В ответ введите множитель при числе pi r= 2(1+cosφ)

Answer 1

2(1+cosφ)≥2(1-1)=0, а значит φ принимает все значения от 0 до 2π.

Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

$S=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} r^2d\phi=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} (2(1+cos\phi))^2d\phi=2\int\limits_0^{2\pi} (1+2cos\phi+cos^2\phi)d\phi=2\phi|_0^{2\pi}+4sin\phi|_0^{2\pi}+\int\limits_0^{2\pi} (1+cos2\phi)d\phi=4\pi+0+\phi|_0^{2\pi}+\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} cos2\phi d(2\phi)=4\pi+2\pi+\dfrac{1}{2}sin2\phi|_0^{2\pi}=6\pi+0=6\pi$

Ответ: 6

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданной кривой в полярной системе координат, мы будем использовать следующую формулу:

$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$

где $r$ - уравнение кривой в полярных координатах, $\alpha$ и $\beta$ - угловые координаты точек пересечения кривой.

В данном случае у нас задано уравнение кривой $r = 2(1 + \cos(\phi))$, и нам нужно найти площадь, ограниченную этой кривой. Для этого найдем точки пересечения этой кривой с положительной половиной оси $x$ (то есть с $\phi$ от 0 до $\pi$):

$2(1 + \cos(\phi)) = 0$ $\cos(\phi) = -1$

Это уравнение имеет одно решение при $\phi = \pi$.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2(1 + \cos(\phi)))^2 d\phi$

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 4(1 + \cos(\phi))^2 d\phi$

$A = 2 \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(\phi))^2 d\phi$

Теперь найдем интеграл:

$A = 2 \int_{0}^{\pi} (1 + 2\cos(\phi) + \cos^2(\phi)) d\phi$

$A = 2 \int_{0}^{\pi} (1 + 2\cos(\phi) + \frac{1}{2}(1 + \cos(2\phi))) d\phi$

Теперь вычислим интегралы:

$\int_{0}^{\pi} 1 d\phi = \pi$ $\int_{0}^{\pi} 2\cos(\phi) d\phi = 2\sin(\phi)\Big|_{0}^{\pi} = 0$ $\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1 + \cos(2\phi)) d\phi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (1 + \cos(2\phi)) d\phi$

Интеграл $\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (1 + \cos(2\phi)) d\phi$ равен $\frac{1}{2}$ разности значений функции $\sin(2\phi)$ на интервалах [0, $\pi$]:

$\frac{1}{2}\Big(\sin(2\pi) - \sin(0)\Big) = \frac{1}{2}(0 - 0) = 0$

Теперь мы можем вычислить общую площадь:

$A = 2\left(\pi + 0 + 0\right) = 2\pi$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой $r = 2(1 + \cos(\phi))$ в полярной системе координат, равна $2\pi$.