Question

Перший член арифметичної прогресії дорівнює 100, а сума шести перших членів у 5 разів більша за суму наступних шести членів. Чому дорівнює різниця прогресії?

Answer 1

Ответ:

- 10

Пошаговое объяснение:

Перший член прогресії а = 100,

другий - а + d,

третій - а + 2d,

четвертий -  - а + 3d,

п'ятий - а + 4d,

шостий - а + 5d,

сьомий - а + 6d,

восьмий - а + 7d,

дев'ятий - а + 8d,

десятий - а + 9d,

одинадцятий - а + 10d,

дванадцятий - а + 11d.

Сума перших 6 :

6а + 15d,

сума лише наступних шести членів після шостого:

6а + 51d.

6а + 15d : (6а + 51d) = 5,

6а + 15d = 30а + 255d,

24а = 15d - 255d,

24а = - 240d,

так, як а = 100, то:

2400 = - 240d,

d = 2400 : - 240,

d = - 10.

Answer 2

Давайте розглянемо дану задачу крок за кроком.

1. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 100, що ми позначимо як a₁ = 100.

2. Сума шести перших членів арифметичної прогресії може бути обчислена за формулою:

   S₁ = (n/2) * [2a₁ + (n - 1)d],

   де n - кількість членів, a₁ - перший член, d - різниця прогресії.

   У нашому випадку n = 6, a₁ = 100, і ми ще не знаємо d, тобто:

   S₁ = (6/2) * [2 * 100 + (6 - 1)d] = 3 * (200 + 5d).

3. Сума наступних шести членів арифметичної прогресії також може бути обчислена за аналогічною формулою:

   S₂ = (n/2) * [2a₇ + (n - 1)d],

   де a₇ - сьомий член прогресії. Ми можемо виразити a₇ через a₁ і d, оскільки a₇ = a₁ + 6d, і підставити це значення у формулу:

   S₂ = (6/2) * [2 * (100 + 6d) + (6 - 1)d] = 3 * [200 + 12d + 5d] = 3 * (200 + 17d).

4. За умовою задачі сума шести перших членів у 5 разів більша за суму наступних шести членів, тобто:

   S₁ = 5 * S₂.

5. Підставимо значення S₁ і S₂ з пунктів 2 і 3 у це рівняння:

   3 * (200 + 5d) = 5 * 3 * (200 + 17d).

6. Спростимо рівняння:

   200 + 5d = 1000 + 85d.

7. Перенесемо всі d терміни на одну сторону, а числові терміни на іншу:

   5d - 85d = 1000 - 200.

8. Підрахуємо різницю:

   -80d = 800.

9. Розділимо обидві сторони на -80:

   d = -800 / -80 = 10.

Отже, різниця арифметичної прогресії дорівнює 10.