Question

Дослідити функцію та побудувати її графік y=x^3-8. Помогите срочно 100 балов на кону

Answer 1

Дана функція:

$y = {x}^{3} - 8$

Область визначення:

$x \in \mathbb R$

Область значень:

$y \in \mathbb R$

Перетин з ОХ:

${x}^{3} - 8 = 0 \\ {x}^{3} = {2}^{3} \\ x = 2$

Перетин з ОУ:

${0}^{3} - 8 = y \\ y = - 8$

Парність функції:

$y( - x) = ( - x)^{3} - 8 = - {x}^{3} - 8 = - ( {x}^{3} + 8)$

Отже функція не є парною чи непарною.

Дана функція – кубічна парабола, зміщена на 8 одиниць вниз, тому графік даної функції зростає на всій області визначення.

Знайдемо похідну функції:

$y'=({x}^{3})'=3{x}^{2} \\y'=0; \: 3{x}^{2}=0;\: x=0$

Отримали точку можливого екстремуму.

Підставимо в похідну функції точку -1, щоб перевірити, як себе "поводить" функція до точки 0:

$y'(-1)=3{(-1)}^{2}=3>0$

Отже в точці -1 похідна більше нуля, а значить функція – зростає.

Підоставимо точку 1:

$y'(1)=3{(1)}^{2}=3>0$

В точці 1 похідна функції також більша нуля, значить після точки 0 функція також зростає.

Отже до і після точки 0 похідна не змінила свій знак, отже функція не має екстремуму.

Answer 2

Звісно, я готовий вам допомогти. Функція $y = x^3 - 8$ є кубічною функцією. Давайте розглянемо її властивості та побудуємо графік.

Властивості функції:

1. Кубічна функція: Формула $y = x^3 - 8$ вказує на те, що функція є кубічною, тобто ступенем $x$ є 3.

2. Константа -8: Функція має константу -8, що зсуває графік вниз на 8 одиниць у порівнянні з базовою кубічною функцією $x^3$.

Побудова графіка:

Давайте побудуємо графік для $y = x^3 - 8$ на інтервалі значень $x$. Я оберу інтервал від -3 до 3 для наочності. Використаємо Python та бібліотеку matplotlib для цього:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаємо функцію
def cubic_function(x):
    return x**3 - 8

# Задаємо значення x в інтервалі від -3 до 3
x_values = np.linspace(-3, 3, 100)

# Знаходимо відповідні значення y
y_values = cubic_function(x_values)

# Побудова графіка
plt.plot(x_values, y_values, label=r'$y=x^3-8$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.title('Графік функції $y=x^3-8$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

Цей код генерує графік для функції $y = x^3 - 8$. Переконайтеся, що ви встановили Python та встановили бібліотеку matplotlib. Якщо немає, ви можете встановити її, використовуючи pip install matplotlib.

На графіку ви побачите криву, що представляє функцію $y = x^3 - 8$. Будь ласка, дайте мені знати, якщо у вас є додаткові питання або якщо вам потрібна додаткова допомога!