Question

Иследовать на монотонность у=5х^3+4x^2-7

Answer 1

Удачи Вам!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для исследования монотонности функции y = 5x^3 + 4x^2 - 7 сначала вычислим ее производную и найдем критические точки. Затем мы будем анализировать знак производной в интервалах между критическими точками, чтобы определить монотонность функции.

1. Найдем производную функции y по x:

y'(x) = d/dx (5x^3 + 4x^2 - 7)

y'(x) = 15x^2 + 8x

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

15x^2 + 8x = 0

Факторизуем:

x(15x + 8) = 0

Теперь решим два уравнения:

a) x = 0 b) 15x + 8 = 0

a) x = 0 - это одна из критических точек.

b) 15x + 8 = 0 15x = -8 x = -8/15 - это вторая критическая точка.

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = -8/15.

3. Теперь давайте анализируем знак производной в интервалах между критическими точками:

а) Для x < -8/15: Используя тестовую точку, например, x = -1, подставим ее в производную: y'(-1) = 15(-1)^2 + 8(-1) = 15 - 8 = 7 Таким образом, на интервале x < -8/15 производная положительна, и функция возрастает.

б) Для -8/15 < x < 0: Используя тестовую точку, например, x = -1/2, подставим ее в производную: y'(-1/2) = 15(-1/2)^2 + 8(-1/2) = 15/4 - 4 = 15/4 - 16/4 = -1/4 Таким образом, на интервале -8/15 < x < 0 производная отрицательна, и функция убывает.

в) Для x > 0: Используя тестовую точку, например, x = 1, подставим ее в производную: y'(1) = 15(1)^2 + 8(1) = 15 + 8 = 23 Таким образом, на интервале x > 0 производная положительна, и функция возрастает.

Итак, на основе анализа знака производной можно сделать следующие выводы:

• Функция убывает на интервале (-8/15, 0).
• Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -8/15) и (0, +бесконечность).

Таким образом, функция y = 5x^3 + 4x^2 - 7 монотонно убывает на интервале (-8/15, 0) и монотонно возрастает на интервалах (-бесконечность, -8/15) и (0, +бесконечность).