Question

В какой точке графика функции f(x)= cos2 2x, касательная параллельно прямой y=x+3

Answer 1

Пользуясь геометрическим смыслом производной, угловой коэффициент прямой равен производной функции в точке касания $x_0$: $f'(x_0)=k$. Поскольку прямая y = x + 3 параллельна касательной, то k = 1.

$f'(x)=(\cos^22x)'=2\cos 2x\cdot (\cos 2x)'=-4\cos 2x\sin 2x=-2\sin 4x$

$f'(x_0)=-2\sin 4x_0=1\\ \\ \sin 4x_0=-0{,}5\\ \\ 4x_0=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_0=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4},~~ k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для найти точку на графике функции f(x) = cos^2(2x), в которой касательная параллельна прямой y = x + 3, вам нужно найти производную функции f(x) и решить уравнение для касательной линии.

1. Найдем производную функции f(x):

f(x) = cos^2(2x)

f'(x) = 2 * cos(2x) * (-sin(2x)) * 2 = -4 * cos(2x) * sin(2x)

2. Теперь нам нужно найти значение x, при котором f'(x) равно наклону прямой y = x + 3. Наклон прямой y = x + 3 равен 1.

-4 * cos(2x) * sin(2x) = 1

3. Решим уравнение:

cos(2x) * sin(2x) = -1/4

4. Теперь найдем x:

Обратите внимание, что уравнение cos(2x) * sin(2x) = -1/4 может иметь несколько решений, но мы найдем одно из них.

cos(2x) * sin(2x) = -1/4

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

4 * cos(2x) * sin(2x) = -1

Теперь используем формулу двойного угла для синуса:

2 * sin(2x) * cos(2x) = -1

sin(4x) = -1

Теперь найдем угол, при котором sin(4x) равен -1. Это происходит, когда 4x = -π/2 + πk, где k - целое число.

4x = -π/2 + πk

x = (-π/2 + πk)/4

Теперь подставим разные значения k, чтобы найти соответствующие значения x:

k = 0: x = (-π/2)/4 = -π/8 k = 1: x = (3π/2)/4 = 3π/8 k = 2: x = (7π/2)/4 = 7π/8 ...

Таким образом, существует бесконечное количество точек на графике функции f(x) = cos^2(2x), в которых касательная линия параллельна прямой y = x + 3. Эти точки имеют координаты x = (-π/8) + (π/2)k, где k - целое число.