Question

Решить дифференциальное уравнение y’=(x/y)+(y/x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файле

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

y' = (x/y) + (y/x)

Сначала преобразуем его, умножив обе стороны на xy:

xy' = x^2/y + y

Теперь приведем всё в общий знаменатель:

xy' = (x^2 + y^2) / y

Теперь разделим обе стороны на x:

y' = (x^2 + y^2) / (xy)

Это дифференциальное уравнение неоднородное, и оно не является уравнением в разделяющихся переменных. Однако мы можем попробовать использовать подстановку, чтобы упростить его. Попробуем подставить u = y/x:

y = ux

Теперь найдем производную y' по правилу производной произведения:

y' = u'x + u

Теперь заменим y' и y в исходном уравнении:

u'x + u = (x^2 + (ux)^2) / (x*ux)

Упростим уравнение:

u'x + u = (x^2 + u^2x^2) / (x^2u)

Теперь уберем x из обоих сторон уравнения:

u' = (1 + u^2) / u

Рассмотрим это как разделяющееся уравнение:

u' / ((1 + u^2)/u) = dx

Умножим обе стороны на (1 + u^2)/u:

u' * (u / (1 + u^2)) = dx

Теперь разделим переменные, переместив u и dx на разные стороны:

(u / (1 + u^2)) * du = dx

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(u / (1 + u^2)) du = ∫dx

Для интегрирования левой стороны используем замену переменной. Пусть z = 1 + u^2, тогда dz = 2udu:

(1/2)∫(1/z) dz = ∫dx

(1/2)ln|z| = x + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к переменной u:

(1/2)ln|1 + u^2| = x + C1

ln|1 + u^2| = 2x + 2C1

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|1 + u^2| = e^(2x + 2C1)

Так как мы работаем с абсолютным значением, мы можем внести экспоненту внутрь:

1 + u^2 = e^(2x + 2C1)

Теперь выразим u^2:

u^2 = e^(2x + 2C1) - 1

Теперь можем выразить u:

u = ±√(e^(2x + 2C1) - 1)

Теперь вернемся к исходной переменной y:

y = ux = x * ±√(e^(2x + 2C1) - 1)

Это общее решение дифференциального уравнения y' = (x/y) + (y/x).