Question

Найти неопрелеленный интеграл (2+4x)dx/x^3-4x, ctg^4(2x)dx; cosxdx/1+cosx и еще x^3dx/x^2+1 помогите пожалуйста решить

Answer 1

Ответ:

Хз

Ваще не понимаю

Мне 5 лет

Пошаговое объяснение:

Даже хз ну прям незнаю

Answer 2

Давайте поочередно найдем неопределенные интегралы для каждой из данных функций:

1. ∫(2 + 4x)/(x^3 - 4x) dx:

Сначала разложим знаменатель: x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)

Теперь разделим на частилинные дроби: (2 + 4x)/(x^3 - 4x) = A/x + B/(x - 2) + C/(x + 2)

Находим A, B и C с помощью метода частных дробей:

2 + 4x = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2)

Теперь подставим значения x, которые сделают некоторые части равными нулю, чтобы найти A, B и C:

1. При x = 0: 2 = -4A A = -1/2

2. При x = 2: 10 = 8B B = 5/4

3. При x = -2: -6 = -4C C = 3/2

Теперь мы знаем значения A, B и C, и можем интегрировать:

∫(2 + 4x)/(x^3 - 4x) dx = ∫(-1/2)(1/x) dx + ∫(5/4)(1/(x - 2)) dx + ∫(3/2)*(1/(x + 2)) dx

Теперь вычисляем каждый из этих интегралов:

∫(-1/2)*(1/x) dx = (-1/2)*ln|x| + C1

∫(5/4)*(1/(x - 2)) dx = (5/4)*ln|x - 2| + C2

∫(3/2)*(1/(x + 2)) dx = (3/2)*ln|x + 2| + C3

Итак, итоговый неопределенный интеграл будет:

(-1/2)*ln|x| + (5/4)*ln|x - 2| + (3/2)*ln|x + 2| + C, где C = C1 + C2 + C3.

2. ∫ctg^4(2x) dx:

Для интегрирования такого типа интеграла можно воспользоваться методом замены. Обозначим ctg(2x) как u:

u = ctg(2x)

Дифференцируем u:

du = -2 * ctg(2x) * csc^2(2x) dx

Теперь у нас есть du в терминах x. Мы можем выразить dx:

dx = -du / (2 * ctg(2x) * csc^2(2x))

Теперь заменяем в исходном интеграле:

∫ctg^4(2x) dx = ∫u^4 * (-du / (2 * ctg(2x) * csc^2(2x)))

∫u^4 * (-du / (2 * u)) = -1/2 ∫u^3 du

Теперь вычисляем этот интеграл:

-1/2 * (u^4 / 4) + C = -u^4/8 + C

Теперь возвращаемся к исходной переменной:

-ctg^4(2x)/8 + C

3. ∫cos(x) dx / (1 + cos(x)):

Для интеграла этого типа можно воспользоваться методом замены. Обозначим 1 + cos(x) как u:

u = 1 + cos(x)

Дифференцируем u:

du = -sin(x) dx

Теперь у нас есть du в терминах x. Мы можем выразить dx:

dx = -du / sin(x)

Теперь заменяем в исходном интеграле:

∫cos(x) dx / (1 + cos(x)) = ∫(-du / sin(x)) / u

∫(-1/u) du = -ln|u| + C

Теперь возвращаемся к исходной переменной:

-ln|1 + cos(x)| + C

4. ∫x^3 dx / (x^2 + 1):

Для интегрирования этого интеграла можно воспользоваться методом деления многочленов или методом замены. Давайте воспользуемся методом деления многочленов:

x^3 / (x^2 + 1)

Разделим x^3 на x^2:

x * (x^2 / (x^2 + 1))

Теперь у нас есть x в числителе и можно разбить интеграл на две части:

∫x dx - ∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx

1. ∫x dx = (1/2) * x^2 + C1

2. Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫(x^2 / (x^2 + 1)) dx

Для этого интеграла можно сделать замену:

u = x^2 + 1 du = 2x dx

(1/2) * ∫(1/u) du

(1/2) * ln|u| + C2

Теперь возвращаемся к исходной переменной:

(1/2) * ln|x^2 + 1| + C2

Итак, итоговый неопределенный интеграл:

(1/2) * x^2 - (1/2) * ln|x^2 + 1| + C, где C = C1 + C2.