Question

Решить дифф уравнение y'=x/(y+1)

Answer 1

Ответ:

$y=$±$\sqrt{x^2+1+C} -1$

Пошаговое объяснение:

$y'=\frac{x}{y+1}$

$\frac{dy}{dx} =\frac{x}{y+1}$

$(y+1)dy=xdx$

$\int\limits {(y+1)} \, dy=\int\limits {x} \, dx$

$\frac{1}{2} y^2+y+C_1=\frac{1}{2} x^2+C_2$

$\frac{1}{2} y^2+y-\frac{1}{2} x^2+C_1-C_2=0$ , $C_1-C_2=C$

$> , решаем квадратное уравнение относительно <img src=$, получаем:

$y=$±$\sqrt{x^2+1+C} -1$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения $y' = \frac{x}{y + 1}$, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Вот как это делается:

1. Перепишем уравнение в следующем виде:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y + 1}$

2. Умножим обе стороны на $y + 1$, чтобы избавиться от дроби:

$(y + 1)dy = xdx$

3. Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int (y + 1)dy = \int xdx$

4. Произведем интегрирование:

$\frac{1}{2}(y^2 + y) = \frac{1}{2}x^2 + C$

Где $C$ - произвольная постоянная интеграции.

5. Теперь давайте решим это уравнение относительно $y$:

$y^2 + y = x^2 + 2C$

6. Перегруппируем члены:

$y^2 + y - x^2 - 2C = 0$

7. Это квадратное уравнение относительно $y$, которое можно решить, используя квадратное уравнение:

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(x^2 + 2C)}}{2}$

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения $y' = \frac{x}{y + 1}$:

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(x^2 + 2C)}}{2}$