Question

Кто может объяснить откуда происходят изменения знаменитая при решении задач на sin, cos, tg двойного угла? Например: Sin (π/2+α)=2sin α × Cos α [здесь я понимаю, тут просто формула, мненеясно что происходит дальше ] = 2sin(π/4+α/2)×sin (π/4 +α/2). Вопрос : откуда знаменатель стал равен 4 у π и у α равен 2?

Answer 1

Формула синуса двойного угла:

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$

или так:

$sin\alpha =2sin\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2}$

тоже верно

Поэтому

$sin(\frac{\pi }{2}+\alpha) =2sin \frac{(\frac{\pi }{2}+\alpha)}{2} cos \frac{(\frac{\pi }{2}+\alpha)}{2} =2sin(\frac{\pi }{4} +\frac{\alpha }{2}) cos (\frac{\pi }{4} +\frac{\alpha }{2})$

Answer 2

Изменения, которые происходят при решении задач с функциями sin, cos и tg двойного угла, связаны с использованием тригонометрических тождеств и свойств этих функций. Давайте разберем ваш пример более подробно:

У вас есть выражение Sin(π/2+α), и вы хотите его упростить до 2sin(π/4+α/2)×sin(π/4+α/2).

1. Начнем с Sin(π/2+α). Здесь используется тригонометрическое тождество, известное как "формула суммы для синуса":

   Sin(α+β) = Sin(α) * Cos(β) + Cos(α) * Sin(β).

   В данном случае α = π/2 и β = α:

   Sin(π/2+α) = Sin(π/2) * Cos(α) + Cos(π/2) * Sin(α).

   Так как Sin(π/2) = 1 и Cos(π/2) = 0, мы получаем:

   Sin(π/2+α) = 1 * Cos(α) + 0 * Sin(α) = Cos(α).

2. Теперь у нас есть Cos(α), и мы хотим представить его в виде произведения синусов. Здесь мы используем тождество:

   Cos(α) = 2 * Cos(α/2) * Cos(α/2).

   Таким образом, выражение Cos(α) можно представить в виде:

   Cos(α) = 2 * Cos(α/2) * Cos(α/2).

3. Теперь мы хотим представить Cos(α/2) в виде синусов. Для этого используется тригонометрическое тождество:

   Cos(α/2) = √(1 + Sin(α/2)) / 2.

   Теперь у нас есть:

   Cos(α) = 2 * (√(1 + Sin(α/2)) / 2) * (√(1 + Sin(α/2)) / 2).

4. Упростим это выражение:

   Cos(α) = (1 + Sin(α/2)) / 2.

5. Теперь, если мы заметим, что α/2 = π/4 + α/2, то Sin(α/2) = Sin(π/4 + α/2), и мы получим:

   Cos(α) = (1 + Sin(π/4 + α/2)) / 2.

Таким образом, Sin(π/2+α) может быть представлено в виде 2sin(π/4+α/2)×sin(π/4+α/2), как вы указали в вопросе.