Question

Найти сумму таких корней уравнения 4sin³x=cos(x-π/2), которые принадлежат отрезку -π, π

Answer 1

Ответ:

$\frac{3\pi}{2}$

Answer 2

Ответ:

$-\pi; \ -\frac{5\pi}{6}; \ -\frac{\pi}{6}; \ 0; \ \frac{\pi}{6}; \ \frac{5\pi}{6}; \ \pi.$

Пошаговое объяснение:

$4sin^3x=cos(x-\frac{\pi}{2}) \\ 4sin^3x=sinx \\ 4sin^3x-sinx=0 \\ sinx(4sin^2x-1)=0 \\ sinx(2sinx-1)(2sinx+1)=0 \\ \\ \left[ \begin{gathered} sinx=0\\ 2sinx-1=0 \\ 2sinx+1=0\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sinx=0\\ sinx=\frac{1}{2} \\ sinx=-\frac{1}{2}\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=\pi n\\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z} \end{gathered} \right.$

Отрезку [-π;π] принадлежат корни:

$-\pi; \ -\frac{5\pi}{6}; \ -\frac{\pi}{6}; \ 0; \ \frac{\pi}{6}; \ \frac{5\pi}{6}; \ \pi.$

Answer 3

Для нахождения суммы корней уравнения $4\sin^3(x) = \cos(x - \pi/2)$ на отрезке $[- \pi, \pi]$, мы можем воспользоваться методом численного решения.

Сначала преобразуем уравнение: $4\sin^3(x) = \cos(x - \pi/2)$

Заметим, что $\cos(x - \pi/2) = -\sin(x)$, поэтому уравнение можно переписать следующим образом: $4\sin^3(x) + \sin(x) = 0$

Теперь мы имеем уравнение, которое можно решить численно. Для нахождения корней на отрезке $[- \pi, \pi]$, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции.

Я могу предоставить код на Python для численного решения этого уравнения:

pythonCopy code
import numpy as np
from scipy.optimize import root_scalar

# Определяем функцию уравнения
def equation(x):
    return 4 * np.sin(x)**3 + np.sin(x)

# Находим корни на отрезке [-pi, pi]
roots = root_scalar(equation, bracket=[-np.pi, np.pi], method='bisect')

# Суммируем корни
sum_of_roots = np.sum(roots.root)

print("Сумма корней:", sum_of_roots)

Этот код использует библиотеку SciPy для численного решения уравнения методом бисекции на отрезке $[- \pi, \pi]$. Сумма корней будет выведена на экран.

Примечание: Помните, что результаты могут зависеть от точности метода численного решения и выбора начальных приближений для корней.