Question

Решить дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными. 2x*sqrt(y^2+1)dx-(x^2)dy=4dy

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, вы можете следовать этим шагам:

1. Выразите все члены, содержащие x, на одной стороне уравнения, а все члены, содержащие y, на другой стороне:

   2x√(y^2 + 1)dx - (x^2)dy = 4dy

2. Разделите обе стороны уравнения на соответствующие переменные:

   2x√(y^2 + 1)dx = (x^2 + 4)dy

3. Теперь разделим переменные, перемещая члены с x на левую сторону и члены с y на правую сторону:

   2x√(y^2 + 1)/((x^2 + 4)dy) = dx

4. Интегрируйте обе стороны уравнения:

   ∫[2x√(y^2 + 1)/((x^2 + 4)dy)] = ∫dx

   Для левой стороны уравнения потребуется замена переменных. Сделаем замену u = y^2 + 1, тогда du = 2y dy:

   ∫[x√(u)/(x^2 + 4)du] = ∫dx

5. Теперь мы можем выполнить интегрирование:

   ∫[√(u)/(x^2 + 4)du] = ∫dx

6. Решите оба интеграла:

   ∫[√(u)/(x^2 + 4)du] = (1/2) ∫[1/(x^2 + 4)du] = (1/2) ∫[1/(x^2 + 4)dx]

   ∫dx = x + C1, где C1 - постоянная интеграции.

   Теперь интегрируем левую сторону. Для этого дробь (1/2) ∫[1/(x^2 + 4)dx] можно разложить на части:

   (1/2) ∫[1/(x^2 + 4)dx] = (1/2) * (1/2) * arctan(x/2) + C2

   Где C2 - еще одна постоянная интеграции.

Теперь у нас есть выражения для обеих сторон уравнения:

(x/4) * arctan(x/2) + C2 = x + C1

Вы можете объединить константы C1 и C2 в одну константу C:

(x/4) * arctan(x/2) + C = x + C

Таким образом, вы получили решение дифференциального уравнения:

(x/4) * arctan(x/2) = x + C

Это уравнение связывает x и C.