Question

Если у натурального числа зачеркнуть последнюю цифру, то оно уменьшится в 13 раз. Найдите все такие числа.​

Answer 1

По условию

$\overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0}=13\cdot\overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_1}= \overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_10}+3\cdot\overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_1};$

$a_0=3\overline{a_na_{n-1}\ldots a_2a_1}.$

Вывод из последнего равенства: раз слева стоит однозначное число, значит справа также стоит однозначное число ⇒первоначальное число состоит из двух цифр, причем вторая цифра есть утроенная первая. Это числа 13, 26, 39  

Answer 2

Давайте представим натуральное число в виде "N" и последнюю его цифру в виде "d". Тогда мы можем записать следующее условие:

N - d = 13(N - 10d)

Распишем это уравнение:

N - d = 13N - 130d

Теперь перенесем все члены с "N" на одну сторону:

12N = 129d

Делим обе стороны на 12:

N = 129d / 12

N должно быть натуральным числом, поэтому "d" должно быть таким, чтобы дробь 129d/12 была целым числом. Рассмотрим делители числа 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12) и найдем соответствующие значения "d":

1. d = 1: N = 129 * 1 / 12 = 10.75 (не является натуральным числом)
2. d = 2: N = 129 * 2 / 12 = 21.5 (не является натуральным числом)
3. d = 3: N = 129 * 3 / 12 = 32.25 (не является натуральным числом)
4. d = 4: N = 129 * 4 / 12 = 43 (является натуральным числом)
5. d = 6: N = 129 * 6 / 12 = 64.5 (не является натуральным числом)
6. d = 12: N = 129 * 12 / 12 = 129 (является натуральным числом)

Таким образом, у нас есть два натуральных числа, которые удовлетворяют условию: N = 43 и N = 129.