Question

Найдите остаток от деления 1^3+2^3+…+2019^3 на 2020

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Можно воспользоваться формулой:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²(n + 1)²/4

В нашем случае n = 2019, поэтому сумма равна:

2019² · 2020² / 4 = 2020 · 2019 · 505 - это число делится на 2020, так как содержит множитель 2020

Answer 2

Для того чтобы найти остаток от деления суммы кубов чисел от 1 до 2019 на 2020, можно воспользоваться малой теоремой Ферма. Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число, и a не делится на p, то a^(p-1) при делении на p дает остаток 1.

В данном случае, p = 2020, и мы хотим найти остаток от деления суммы кубов чисел от 1 до 2019 на 2020. Сумма кубов чисел от 1 до 2019 обозначим как S:

S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 2019^3

Используем малую теорему Ферма:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Для нашего случая:

a^(2019) ≡ 1 (mod 2020)

Теперь умножим обе стороны на a:

a^(2019) * a ≡ a (mod 2020)

Теперь, для каждого a от 1 до 2019, мы имеем:

a^2019 * a ≡ a (mod 2020)

Теперь сложим все эти сравнения для a от 1 до 2019:

1^2019 * 1 + 2^2019 * 2 + 3^2019 * 3 + ... + 2019^2019 * 2019 ≡ 1 + 2 + 3 + ... + 2019 (mod 2020)

Это сводится к:

S ≡ (2019 * 2020 * (2020 + 1)) / 2 (mod 2020)

S ≡ (2019 * 2020 * 2021) / 2 (mod 2020)

Теперь, заметим, что 2020 делится на 2, поэтому мы можем сократить долю 2:

S ≡ 2019 * 2021 (mod 2020)

Теперь вычислим это выражение:

S ≡ 2019 * 2021 ≡ 4076799 (mod 2020)

Теперь найдем остаток от деления 4076799 на 2020:

4076799 % 2020 = 799

Таким образом, остаток от деления суммы кубов чисел от 1 до 2019 на 2020 равен 799.