Question

На Новый год Васе подарили коробку карандашей. Когда Вася стал их раскладывать на кучки по 5 штук, оказалось, что для последней кучки не хватает двух карандашей. Тогда Вася собрал все карандаши заново и решил разложить их в кучки по 7 карандашей, но в этом случае для последней кучки осталось три карандаша. Какое количество карандашей лежало в коробке, если известно, что оно является простым числом, меньшим 150?

Answer 1

Когда Вася разложил карандаши на кучки по 5, то у него оказалось 5n+3 карандаша( до 5 не хватало 2 штук, то есть 3).

А когда он разложил на кучки по 7, то у него оказалось 7m+3 и так как в обоих случаях карандашей было  одинаковое количество, то

5n+3=7m+3, то есть 5n=7m. что 5n, что 7m должно делиться в одно и то же время на 5 и на 7 без остатка, то есть на 35 всяко ( НОК). причём 5n и 7m должно быть меньше 150-3=147.

Смотрим, какие у нас могут быть целые числа до 147, кратные 35 :  35 , 70, 140 , прибавляем к каждомуу 3 и смотрим какие из них будут простые, но меньшие , чем 147+3=150

35+3 = 38 - не простое минимум на 2 делится

70+3=73 - простое

143  - не простое минимум на 11 делится.

в итоге будет 73

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Пусть x - количество карандашей в коробке.

Мы знаем, что при делении на 5 остаток равен 2 (для последней кучки), и при делении на 7 остаток равен 3 (для последней кучки). Это можно записать в виде двух уравнений:

1. x ≡ 2 (mod 5)
2. x ≡ 3 (mod 7)

Теперь мы можем воспользоваться Китайской теоремой об остатках (КТО), чтобы найти значение x. Сначала найдем обратные элементы для 5 и 7 по модулям 7 и 5 соответственно.

Для 5: Обратный элемент для 5 по модулю 7 - это 3, так как (5 * 3) % 7 = 15 % 7 = 1.

Для 7: Обратный элемент для 7 по модулю 5 - это 3, так как (7 * 3) % 5 = 21 % 5 = 1.

Теперь мы можем использовать КТО для нахождения x:

x = (2 * 7 * 3 + 3 * 5 * 2) % (5 * 7) = (42 + 30) % 35 = 72 % 35 = 37.

Итак, количество карандашей в коробке равно 37.

Теперь проверим, что 37 - простое число, и оно меньше 150. Да, 37 - простое число, и оно удовлетворяет условию задачи.