Question

3y''+2y'=xРозв’язати диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами​

Answer 1

1. Решаем ОЛДУ:

$3y'' + 2y' = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} (3 {k}^{2} + 2 k) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = - \frac{2}{3} \\ \\ y = C1 + C2 {e}^{ - \frac{2}{3} x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A{x}^{2} + Bx + C \\ y' = 2Ax + B \\ y'' = 2A$

подставляем в НЛДУ:

$3 \times 2A+ 2(2Ax + B) = x \\ 6A + 4Ax + 2B = x \\ \\ 4A = 1 \\ 6A + 2B = 0 \\ \\ A= \frac{1}{4} \\ B = - 3A = - \frac{3}{4}$

$y = \frac{ {x}^{2} }{4} - \frac{3x}{4}$

$y = C1 + C2 {e}^{ - \frac{2}{3} x} + \frac{ {x}^{2} }{4} - \frac{3x}{4}$

общее решение

Answer 2

Для розв'язання диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, спробуємо знайти загальний розв'язок рівняння:

$3y'' + 2y' = x$

Спершу знайдемо загальний розв'язок супутнього однорідного рівняння, яке отримується при встановленні $x$ на 0:

$3y'' + 2y' = 0$

Це рівняння можна розв'язати методом характеристичного рівняння, представивши $y$ як $y = e^{rx}$:

$3r^2 + 2r = 0$

Факторизуємо:

$r(3r + 2) = 0$

Отримуємо два значення $r$:

1. $r = 0$
2. $r = -\frac{2}{3}$

Тепер знаємо, що загальний розв'язок однорідного рівняння виглядає так:

$y_h(x) = C_1e^{0x} + C_2e^{-\frac{2}{3}x}$

$y_h(x) = C_1 + C_2e^{-\frac{2}{3}x}$

Далі, шукаємо частинний розв'язок для неоднорідного рівняння. Припустимо, що частинний розв'язок має вигляд $y_p(x) = Ax + B$. Знайдемо похідні:

$y_p'(x) = A$ $y_p''(x) = 0$

Підставляємо похідні в початкове рівняння:

$3(0) + 2(A) = x$

Звідси отримуємо $A = \frac{x}{2}$. Тепер ми знаємо частинний розв'язок:

$y_p(x) = \frac{x}{2} + B$

Тепер об'єднаємо загальний розв'язок однорідного рівняння і частинний розв'язок неоднорідного рівняння:

$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ $y(x) = C_1 + C_2e^{-\frac{2}{3}x} + \frac{x}{2} + B$

Загальний розв'язок цього диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами виглядає так:

$y(x) = C_1 + C_2e^{-\frac{2}{3}x} + \frac{x}{2} + B$