Question

Существует ли треугольник с высотами 5, 7 и 8? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ:

Да

Пошаговое объяснение:

Так как середина сойдётся в одной точке и получится треугольник.

Answer 2

Для того чтобы определить, может ли существовать треугольник с заданными высотами, мы можем использовать формулу площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить через его высоты $h_a, h_b, h_c$ и стороны $a, b, c$:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Поскольку в треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны, давайте обозначим стороны как $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. Пусть $S$ будет площадью треугольника.

Теперь давайте рассмотрим высоты. Пусть $h_a = AD$, $h_b = BE$, $h_c = CF$.

Имеем:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Теперь подставим значения высот:

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF$

Так как это одна и та же площадь, это означает, что треугольник существует.

Таким образом, треугольник с высотами 5, 7 и 8 существует.