Question

Найти dz/du и dz/dv если z= x^2+2y^3 если x= u/v y= u*v

Answer 1

Ответ:

$z = {x}^{2} + 2 {y}^{3}$

$x = \frac{u}{v} \\ y = uv$

$\frac{dz}{du} = \frac{dz}{dx} \times \frac{dx}{du} + \frac{dz}{dy} \times \frac{dy}{du}$

$\frac{dz}{dv} = \frac{dz}{dx} \times \frac{dx}{dv} + \frac{dz}{dy} \times \frac{dy}{dv}$

$\frac{dz}{dx} = 2x \\ \frac{dz}{dy} = 6 {y}^{2}$

$\frac{dx}{du} = \frac{1}{v} \\ \frac{dy}{du} = v$

$\frac{dz}{du} = 2x \times \frac{1}{v} + 6 {y}^{2} \times v = \\ = \frac{2x}{v} + 6 {y}^{2} v$

$\frac{dx}{dv} = - u {v}^{ - 2} = - \frac{u}{v ^{2} }$

$\frac{dy}{dv} = u$

$\frac{dz}{dv} = 2x \times \times ( - \frac{u}{v ^{2} } ) + 6 {y}^{2} \times u = \\ = - \frac{2xu}{ {v}^{2} } + 6 {y}^{2} u$

Answer 2

Для нахождения частных производных dz/du и dz/dv, когда z = x^2 + 2y^3, а x = u/v и y = uv, нам потребуется использовать правило дифференцирования сложной функции.

1. Начнем с выражения для x и y: x = u/v y = uv

2. Теперь выразим x и y как функции u и v: x(u, v) = u/v y(u, v) = uv

3. Теперь выразим z как функцию u и v, используя x и y: z(u, v) = x^2 + 2y^3

4. Найдем частную производную z по u, dz/du: Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: dz/du = dz/dx * dx/du + dz/dy * dy/du

   • Найдем dz/dx: dz/dx = 2x

   • Найдем dx/du: dx/du = (1/v) * (du/du) = 1/v

   • Найдем dz/dy: dz/dy = 6y^2

   • Найдем dy/du: dy/du = (v) * (du/du) = v

   Теперь мы можем вычислить dz/du: dz/du = (2x * 1/v) + (6y^2 * v) = (2(u/v) * 1/v) + (6(uv)^2 * v) = (2u/v^2) + (6u^2v^3)

5. Теперь найдем частную производную z по v, dz/dv: Используем те же шаги, что и выше, но с учетом переменной v: dz/dv = dz/dx * dx/dv + dz/dy * dy/dv

   • Найдем dz/dx (уже найдено): dz/dx = 2x

   • Найдем dx/dv: dx/dv = (-u/v^2) * (dv/dv) = -u/v^2

   • Найдем dz/dy (уже найдено): dz/dy = 6y^2

   • Найдем dy/dv: dy/dv = (u) * (dv/dv) = u

   Теперь мы можем вычислить dz/dv: dz/dv = (2x * (-u/v^2)) + (6y^2 * u) = (-2u/v) + (6(uv)^2 * u) = (-2u/v) + (6u^3v^2)

Итак, мы получили частные производные dz/du и dz/dv: dz/du = (2u/v^2) + (6u^2v^3) dz/dv = (-2u/v) + (6u^3v^2)