Question

Докажите, что если функция f(x) непрерывна в точке a, то функция |f(x)|также непрерывна в этой точке. Справедливо ли обратное?

Answer 1

Ответ:это правильно:)

Пошаговое объяснение:Обратное справидливо:)

Answer 2

Для доказательства того, что если функция f(x) непрерывна в точке a, то функция |f(x)| также непрерывна в этой точке, мы можем воспользоваться определением непрерывности и свойствами модуля.

Определение непрерывности функции в точке a: Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любого положительного числа ε (epsilon) существует положительное число δ (delta), такое что для всех x из интервала (a - δ, a + δ) выполняется неравенство |f(x) - f(a)| < ε.

Теперь рассмотрим функцию |f(x)|. Для нее непрерывность в точке a можно определить аналогично:

Функция |f(x)| называется непрерывной в точке a, если для любого положительного числа ε (epsilon) существует положительное число δ (delta), такое что для всех x из интервала (a - δ, a + δ) выполняется неравенство ||f(x)| - |f(a)|| < ε.

Но мы знаем следующее свойство модуля: |x - y| ≤ |x| + |y| для любых действительных чисел x и y. Применим это свойство к нашей функции |f(x)|:

||f(x)| - |f(a)|| ≤ |f(x) - f(a)|.

Теперь, если функция f(x) непрерывна в точке a, то для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что |f(x) - f(a)| < ε, когда |x - a| < δ. Следовательно, мы можем также выбрать тот же δ для функции |f(x)|. Тогда для всех x из интервала (a - δ, a + δ) выполняется неравенство:

||f(x)| - |f(a)|| ≤ |f(x) - f(a)| < ε.

Это означает, что функция |f(x)| непрерывна в точке a.

Теперь касательно обратного утверждения. Нет, обратное утверждение не всегда верно. То есть, из того, что функция |f(x)| непрерывна в точке a, не следует, что функция f(x) непрерывна в точке a. Примером может служить функция f(x) = sign(x), где sign(x) - функция signum (знак числа), которая равна -1 при x < 0, 1 при x > 0 и 0 при x = 0. Функция |f(x)| = |sign(x)| всегда равна 1, что является константой, и она непрерывна во всех точках, но функция f(x) = sign(x) не является непрерывной в точке x = 0.