Question

Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. y"-y'+2y=4e^(2x)

Answer 1

Ответ:

1.

$y'' - y' + 2y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - k + 2) = 0 \\ d = 1 - 8 = - 7 \\ k1 = \frac{1 + \sqrt{ - 7} }{2} = \frac{1 + \sqrt{7}i }{2} = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{7} }{2} i \\ k = \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{7} }{2} i \\ \\ y = {e}^{ \frac{1}{2}x }( C1 \sin( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) + C 2\cos( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) )$

2.

Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A {e}^{2x} \\ y = 2A{e}^{2x} \\ y = 4A {e}^{2x}$

подставляем а НЛДУ:

$4A{e}^{2x} - 2A {e}^{2x} + 2A{e}^{2x} = 4 {e}^{2x } \\ 4A {e}^{2x} = 4 {e}^{2x} \\ A = 1 \\ y = {e}^{2x}$

общее решение:

$y = {e}^{ \frac{1}{2}x }( C1 \sin( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) + C 2\cos( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) ) + {e}^{2x}$

Answer 2

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как данное, можно использовать метод вариации постоянных.

Уравнение имеет вид: y'' - y' + 2y = 4e^(2x)

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: y'' - y' + 2y = 0

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет следующий вид: r^2 - r + 2 = 0

Чтобы найти корни этого уравнения, используем квадратное уравнение: r = (-(-1) ± √((-1)^2 - 412)) / (2*1) r = (1 ± √(-7))/2

Так как дискриминант отрицателен, то корни будут комплексными числами: r1 = (1 + i√7)/2 r2 = (1 - i√7)/2

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения: y_h(x) = e^(x/2) * (C1 * cos(√7x/2) + C2 * sin(√7x/2))

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что решение частного уравнения имеет вид: y_p(x) = A * e^(2x)

Теперь вычислим производные: y_p'(x) = 2A * e^(2x) y_p''(x) = 4A * e^(2x)

Подставим эти производные в исходное неоднородное уравнение: 4A * e^(2x) - 2A * e^(2x) + 2A * e^(2x) = 4e^(2x)

Сократив обе стороны уравнения на 2, получим: 2A * e^(2x) = 4e^(2x)

Теперь найдем значение A: 2A = 4

A = 2

Таким образом, частное решение: y_p(x) = 2 * e^(2x)

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = e^(x/2) * (C1 * cos(√7x/2) + C2 * sin(√7x/2)) + 2 * e^(2x)

Это общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.