Question

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. y''+4y=3cosx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, вам понадобится найти общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

Данное уравнение имеет вид: y'' + 4y = 3cos(x).

1. Найдем общее решение однородного уравнения (y'' + 4y = 0).

Характеристическое уравнение для однородного уравнения имеет вид: r^2 + 4 = 0.

Решим это уравнение для нахождения характеристических корней (r): r^2 = -4 r = ±√(-4) = ±2i

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = C1cos(2x) + C2sin(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Поскольку правая часть неоднородного уравнения равна 3cos(x), предполагаем, что частное решение имеет вид: y_p = Acos(x) + Bsin(x).

Подставим это частное решение в уравнение и найдем коэффициенты A и B: y_p'' = -Acos(x) - Bsin(x), 4y_p = 4Acos(x) + 4Bsin(x).

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение: (-Acos(x) - Bsin(x)) + 4Acos(x) + 4Bsin(x) = 3cos(x).

Теперь приравниваем коэффициенты при cos(x) и sin(x) на левой и правой частях уравнения: 4A - A = 0 => A = 0,

• B + 4B = 3 => 3B = 3 => B = 1.

Таким образом, частное решение y_p = sin(x).

3. Общее решение неоднородного уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения (y_h) и частного решения (y_p): y = y_h + y_p = C1cos(2x) + C2sin(2x) + sin(x).

Где C1 и C2 - произвольные постоянные. Это является общим решением данного линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.