Question

Вычислить интеграл sinx•e^x dx методом интегрирования по частям

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫sin(x) * e^x dx методом интегрирования по частям, мы используем формулу:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это две функции, которые мы выбираем, чтобы выполнить интегрирование по частям. В данном случае давайте выберем:

u = sin(x) => du = cos(x) dx dv = e^x dx => v = e^x

Теперь мы можем применить формулу:

∫sin(x) * e^x dx = sin(x) * e^x - ∫e^x * cos(x) dx

Теперь у нас есть новый интеграл ∫e^x * cos(x) dx, который мы также можем решить методом интегрирования по частям. Применяя ту же формулу, выберем:

u = cos(x) => du = -sin(x) dx dv = e^x dx => v = e^x

Используя формулу интегрирования по частям ещё раз, получаем:

∫e^x * cos(x) dx = cos(x) * e^x + ∫e^x * sin(x) dx

Теперь мы имеем интеграл ∫e^x * sin(x) dx. Продолжая применять метод интегрирования по частям, мы можем выбрать:

u = sin(x) => du = cos(x) dx dv = e^x dx => v = e^x

И снова применяем формулу интегрирования по частям:

∫e^x * sin(x) dx = sin(x) * e^x - ∫e^x * cos(x) dx

Теперь мы можем подставить это значение обратно в нашу исходную интегральную задачу:

∫sin(x) * e^x dx = sin(x) * e^x - (cos(x) * e^x + ∫e^x * sin(x) dx)

Теперь мы видим, что интеграл ∫e^x * sin(x) dx появляется с обеих сторон уравнения. Мы можем выразить его и решить уравнение:

2∫e^x * sin(x) dx = sin(x) * e^x - cos(x) * e^x

∫e^x * sin(x) dx = (1/2) * (sin(x) * e^x - cos(x) * e^x) + C

Где C - это постоянная интеграции. Таким образом, получаем окончательное значение интеграла:

∫sin(x) * e^x dx = (1/2) * (sin(x) * e^x - cos(x) * e^x) + C