Question

10. Найдите все возможные способы замены звёздочек цифрами, чтобы число 5757** (а) делилось на 36, (б) делилось на 99.

Answer 1

Ответ:

а) 12, 48, 84

б) 84

Пошаговое объяснение:

a) 36 = 9 * 4

Чтобы число делилось на 4, последние 2 цифры должны образовывать число, которое делится на 4

12; 16; ... 92; 96

Чтобы число делилось на 9, сумма цифр числа должна быть кратна 9

5 + 7 + 5 + 7 = 24. До числа кратного 9 не хватает 3 => сумма цифр двух добавленных цифр должна иметь вид 9n + 3

12; 21; 30; 39; 48; 57; 66; 75; 84; 93

21 - неч

39 - неч

57 - неч

75 - неч

93 - неч

30 - не кратно 4

66 - не кратно 4

12 - кратно 4

48 - кратно 4

84 - кратно 4 => подходит 3 варианта, 12, 48 и 84

б) 99 = 9 * 11

Чтобы число делилось на 9, сумма цифр числа должна быть кратна 9

5 + 7 + 5 + 7 = 24. До числа кратного 9 не хватает 3 => сумма цифр двух добавленных цифр должна иметь вид 9n + 3

21; 30; 39; 48; 57; 66; 75; 84; 93

Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

5 + 5 = 10; 7 + 7 = 14

14 - 10 = 4 => подходят числа

51; 62; 73; 84; 95; 18; 29

Из двух списков выбираем одинаковые и получаем всего 1 вариант 84

Answer 2

Чтобы найти все возможные способы замены звездочек цифрами, чтобы число $5757**$ делилось на 36 и 99, мы можем воспользоваться правилами делимости для обоих случаев.

(а) Деление на 36:

Число делится на 36, если оно делится и на 4, и на 9. Посмотрим на последние две цифры числа $5757**$, чтобы определить его делимость на 4. Поскольку 57 делится на 4 (57 = 4 * 14 + 1), число $5757**$ также делится на 4.

Чтобы определить делимость на 9, сложим все цифры числа: $5 + 7 + 5 + 7 + a + b$, где $a$ и $b$ - заменяемые цифры. Чтобы сумма была кратна 9, $a + b$ должно быть кратно 9. Возможные комбинации для $a + b$ равного 9: (0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0).

Таким образом, возможные значения для $a$ и $b$, чтобы число $5757ab$ делилось на 36, это $ab$ = 00, 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

(б) Деление на 99:

Число делится на 99, если оно делится и на 9, и на 11. Поскольку мы уже знаем, что число $5757**$ делится на 9 (сумма цифр делится на 9), давайте рассмотрим делимость на 11.

Разность суммы цифр в нечётных и чётных позициях числа $5757ab$ должна быть кратной 11. В данном случае это $5 - 7 + 5 - 7 + a - b = -4 + a - b$.

Чтобы $11$ делило число, $-4 + a - b$ должно быть кратным $11$. Таким образом, $a - b$ должно быть либо $7$, либо $-4$. Возможные комбинации для $a - b$: (7, 0), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6), (0, 7), (-1, 8), (-2, 9).

Теперь, учитывая делимость на 36 и 11, мы можем определить возможные значения для $a$ и $b$. Исходя из вышеперечисленных комбинаций, возможные значения для $ab$ в числе $5757ab$, которое делится на 99, это $ab = 70, 61, 52, 43, 34, 25, 16, 07, 98, 89$.