Question

Полное исследование функций и построение графиков y=x^2/(4-x^2)

Answer 1

Ответ:

y=(x²-4)/(x²+4)

D(y)∈R

y(-x)=(x²-4)/(x²+4) четная

y(0)=-1

(0;-1) точка пересечения с осью оу

(х²-4)/(х²+4)=0

х=-2  х=2

(-2;0);(2;0)-точки пересечения с осью ох

y`=(2x(x²+4)-2x(x²-4))/(x²+4)²=(2x³+8x-2x³+8x)/(x³+4)=16x/(x²+4)²=0

x=0  

                _                    +

--------------------(0)----------------------

убыв                min    возр

ymin=y(0)=-1

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим функцию y = x^2 / (4 - x^2) и проанализируем ее свойства, включая область определения, асимптоты, экстремумы и поведение при x -> +/- бесконечности. После этого мы построим графики.

1. Область определения: Функция y = x^2 / (4 - x^2) имеет ограничение на область определения из-за знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому область определения функции - это множество всех x, где 4 - x^2 ≠ 0.

4 - x^2 ≠ 0 x^2 ≠ 4 x ≠ ±2

Таким образом, область определения функции - это (-∞, -2) объединенное с (-2, 2) объединенное с (2, ∞).

2. Асимптоты: Посмотрим на асимптоты функции.

a. Горизонтальная асимптота: При x -> +/- бесконечности, функция стремится к горизонтальной асимптоте y = 0, так как степень x в числителе и знаменателе одинакова, и коэффициенты перед ними равны.

b. Вертикальные асимптоты: Функция имеет вертикальные асимптоты в точках, где знаменатель равен нулю: 4 - x^2 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, у функции есть вертикальные асимптоты в x = -2 и x = 2.

3. Экстремумы: Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную и решим уравнение f'(x) = 0.

f(x) = x^2 / (4 - x^2) f'(x) = [2x(4 - x^2) - x^2(-2x)] / (4 - x^2)^2 f'(x) = (8x - 3x^3) / (4 - x^2)^2

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

8x - 3x^3 = 0 x(8 - 3x^2) = 0

Это уравнение имеет корни при x = 0 и x = ±2. Теперь найдем значения функции в этих точках:

f(0) = 0 / 4 = 0 f(2) = 4 / (4 - 4) = функция не определена f(-2) = 4 / (4 - 4) = функция не определена

Таким образом, функция имеет экстремум в точке (0, 0).

Теперь построим график функции y = x^2 / (4 - x^2) с учетом полученной информации:

[График функции y = x^2 / (4 - x^2)]

По графику видно, что функция имеет вертикальные асимптоты в x = -2 и x = 2, горизонтальную асимптоту y = 0 при x -> +/- бесконечности, и экстремум в точке (0, 0). График также ограничен областью определения (-∞, -2) объединенной с (-2, 2) объединенной с (2, ∞).