Question

Знайдіть найбільше значення функції у=-2х^3+6х^2+9 на відрізку [0;3].

Answer 1

Ответ:

Ymax=17 при х=2

Пошаговое объяснение:

y'=-6x²+12x=-6x(x+2)

-6x(x-2)=0⇒x1=0, x2=2 __-___0__+___2___-___

y(2) - max

y(0) - min

y(2)=-2×2³+6×2²+9=-16+24+9=17

y(3)=-2×3³+6×3²+9=-54+54+9=9

Answer 2

Щоб знайти найбільше значення функції $y = -2x^3 + 6x^2 + 9$ на відрізку $[0; 3]$, потрібно знайти значення функції на кінцях відрізку та всіх критичних точках всередині цього відрізку.

1. Знайдемо значення функції на кінцях відрізку:

   • При $x = 0$, $y = -2(0)^3 + 6(0)^2 + 9 = 9$.
   • При $x = 3$, $y = -2(3)^3 + 6(3)^2 + 9 = -54 + 54 + 9 = 9$.

2. Знайдемо критичні точки, обчисливши похідну та знаходячи її нулі: Похідна функції $y = -2x^3 + 6x^2 + 9$ дорівнює: $y' = -6x^2 + 12x$.

   Знайдемо критичні точки, вирівнюючи похідну до нуля: $-6x^2 + 12x = 0$. Поділимо обидві сторони на -6: $x^2 - 2x = 0$.

   Це рівняння має дві різниці нулів: $x = 0$ та $x = 2$.

3. Знайдемо значення функції в критичних точках:

   • При $x = 0$, $y = -2(0)^3 + 6(0)^2 + 9 = 9$.
   • При $x = 2$, $y = -2(2)^3 + 6(2)^2 + 9 = -16 + 24 + 9 = 17$.

Таким чином, максимальне значення функції $y = -2x^3 + 6x^2 + 9$ на відрізку $[0; 3]$ дорівнює 17.